Hipi Zhdripi i Matematikës/1108

Z g j i d h j e : Përcaktorët e sistemit janë: $D=23abc;\ D_{1}=23ab^{2}c^{2};\ D_{2}=23a^{2}bc^{2};\ D_{3}=23a^{2}b^{2}c.$ Supozojmë se $a,b,c\neq 0$ dhe zbatojmë formulat e Cramerit: $x_{1}=bc,\ x_{2}=ac,\ x_{3}=ab,$ pra, treshi i renditur $(bc,\ ac,\ ab)$ paraqet zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve të dhëna. 5.5.1_ZGJIDHSHMËRIA E SISTEMIT TË EKUACIONEVE LINEARE Lidhur me zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare (32) do të dallojmë këto tri raste 1°. Kur $D\neq 0$ , sistemi i ekuacioneve lineare (32) është i mundshëm dhe i caktuar, sepse ${\frac {D_{i}}{D}}(i=1,2,3)$ ekzistojnë. 2°. Kur $D=0$ dhe $\exists A_{ik}\neq 0>(i,k=1,2,3)$ sistemi i ekuacioneve lineare (32) është ekuivalent me këtë sistem të ekuacioneve: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\end{matrix}}$ (...32a) ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{vmatrix}}=0$ Vërtet, kur supozojmë se treshi i renditur $(t_{1},t_{2},t_{3})$ është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32), ai është zgjidhja edhe i sistemit të ekuacioneve (32a), sepse ekuacioni i tretë i këtij sistemi, në atë rast, reduktohet në këtë formulë të saktë: ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&0\end{vmatrix}}=0$ Ndërkaq, kur supozojmë se treshi i renditur $(t_{1},t_{2},t_{3})$ është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32a) dhe $A_{33}\neq 0$ , ekuacioni i tretë i këtij sistemi merr këtë trajtë: $(a_{31}t_{1}\!+\!a_{32}t_{2}\!+\!a_{33}t_{3}\!-\!b_{3})A_{33}\!=\!0\ ose\ a_{31}t_{1}\!+\!a_{32}t_{2}\!+\!a_{33}t_{3}\!-\!b_{3}\!=\!0,\,$ çka do të thotë se $(t_{1},t_{2},t_{3})$ është zgjidhja edhe e sistemit (32). D.m.th. në kushtet e përmendura sistemet (32) dhe (32a) janë ekuivalente. Nga ekuivalenca e tyre rrjedh se shqyrtimi i zgjidhshmërisë së sistemit (32) mund të bëhet nëpërmjet të sistemit (32a). Për këtë qëllim e zhvillojmë përcaktorin