Hipi Zhdripi i Matematikës/1103

të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori $D$ mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.        Në përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit $a_{ik}$ shënohet me $D_{ik}$. Prodhimi i minorit $D_{ik}$ me numrin $(-1)^{1+k}$ quhet kofaktor (komplementi algjebrik) i elementit $a_{ik}$ dhe shënohet $A_{ik}$, pra: $A_{ik}=(-1)^{i+k}D_{ik}$. (...27) Duke pasur parasysh këtë, formula (25b) merr këtë trajtë: $D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$        Nuk është vështirë të provohet se, në përgjithësi, përcaktori i rendit të tretë $D$ mund të shprehet me formulat: $D={\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}&(i=1,2,3)\\a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+a_{3k}A_{3k}&(k=1,2,3)\end{cases}}$(...28) që quhen formulat e Laplacit.        Kur formulat e Laplacit i përgjithësojmë për përcaktorin e rendit $n$ përftojmë: $D={\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}&(i=1,2,\cdots ,n)\\a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+\cdots +a_{nk}A_{nk}&(k=1,2,\cdots ,n)\end{cases}}$(...28a)        Nga këto formula shihet se njehsimi i përcaktorit të rendit $n$ reduktohet në njehsimin e $n$ përcaktorëve të rendit $n-1$.        S h e m b u l l i  9. -  Të njehsohet vlera e përcaktorit $D={\begin{vmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{vmatrix}}$        Z g j i d h j e : E zhvillojmë përcaktorin në minore sipas elementeve të rreshtit të dytë dhe njëherit aplikojmë vetitë e përcaktorëve siç vijon;         $D\,$ $=-ac{\begin{vmatrix}2ab&b^{2}\\2cd&d^{2}\end{vmatrix}}+(ad+bc){\begin{vmatrix}a^{2}&b^{2}\\c^{2}&d^{2}\end{vmatrix}}-bd{\begin{vmatrix}a^{2}&2ab\\c^{2}&2cd\end{vmatrix}}$ $=-2abcd{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+(ad+bc){\begin{vmatrix}a^{2}&b^{2}\\c^{2}&d^{2}\end{vmatrix}}-2abcd{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ $=-4abcd{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+(ad+bc)(a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2})$ $=-4abcd(ad-bc)+(ad-bc)^{2}(ad-bc)\,$ $=(ad-bc)[(ad-bc)^{3}-4abcd]=(ad-bc)^{3}\,$.

< 1102 faqe - 1103 - 1104 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1102 faqe - 1103 - 1104 >