Hipi Zhdripi i Matematikës/1276

3.5. DERIVATI I FUNKSIONIT TË DHËNË NË FORMËN IMPLICITE Le të jetë dhënë funksioni në formën implicite $F(x,y)=0$ . (18) Derivati i një funksioni të këtillë përcaktohet në këtë mënyrë: - Derivohet ana e majtë e barazimit (18), duke trajtuar $y$ -in si funksion, $x$ -in si argument dhe shprehja e përftuar barazohet me zero, pra: $F'_{x}+F'_{y}\cdot y=0$ . (47) Këtu $F'_{x}$ paraqet derivatin e funksionit $F(x,y)$ sipas variablit $x$ , ku përkohësisht $y$ -i merret si madhësi konstante, kurse $F'_{y}$ paraqet derivatin e atij funksioni sipas variablit $y$ , ku $x$ -i trajtohet si madhësi konstante. - Ekuacioni (47) zgjidhet sipas derivatit $y$ : $y=-{\frac {F'_{x}}{F'_{y}}}$ (47a) ku ana e djathtë është një funksion i formës implicite ndaj variablave $x$ , $y$ . Këto formula mundësojnë njehsimin e derivatit të funksionit (18) pa e sjell më parë atë në formën eksplicite. P.sh., derivati i funksionit $x^{2}y+3xy^{2}+5x-2y-1=0$ është: $(x^{2}y+3xy^{2}+5x-2y-1)'_{x}+(x^{2}y+3xy2+5x-2y-1)'_{y}\cdot y'=0$ ose $(2xy+3y^{2}+5)+(x^{2}+6xy-2)\cdot y=0$ prej nga del $y'={\frac {2xy+3y^{2}+5}{x^{2}+6xy-2}}$ . 3.6. DERIVATET E FUNKSIONEVE ELEMENTARE THEMELORE T e o r e m a 3.6. 1. - Derivati i funksionit eksponencial $y=a^{x}$ është i barabartë me $a^{x}\ln a$ , pra $(a^{x})'=a^{x}\ln a$ . (48) V ë r t e t i m Këtu shtesës së argumentit $\Delta x$ i përgjigjet shtesa e funksionit $\Delta y=a^{x\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$ , ku raporti i këtyre shtesave është: ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$ . Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\Delta x\rightarrow 0$ , shprehet: $y'=(a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$ .