Hipi Zhdripi i Matematikës/1261

Krahas vazhdueshmërisë së funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$, flitet edhe për vazhdueshmërinë e njëanshme të tij në këtë pikë.        P ë r k u f i z i m i  2.7.2. - Funksioni $y=f(x)$ quhet i vazhdueshëm nga majta në pikën $a$, nëse ${\underset {x\to a^{-0}}{\lim }}f(x)=f(a)$, ndërkaq quhet i vazhdueshëm nga djathta në pikën $a$, nëse ${\underset {x\to a^{+0}}{\lim }}f(x)=f(a)$.[1]        T e o r e m a  2.7.1. - Funksioni $y=f(x)$ është i vazhdueshëm në pikën $a$ atëherë dhe vetëm atëherë, nëse $f(a-0)=f(a+0)=f(a)$.        V ë r t e t i m Hipotezat e teoremës janë të nevojshme, pasi supozimi se $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$ implikon vazhdueshmërinë e funksionit $f(x)$ nga e majta dhe nga e djathta në pikën $a$.         Hipotezat e teoremës janë të mjaftueshme, sepse ato implikojnë plotësimin e konditave 1 ° - 3 ° të përmendura më lartë.         Vazhdueshmëria e funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$ mund të përkufizohet edhe nëpërmjet të shtesës së funksionit dhe shtesës së argumentit në këtë pikë.         Me këtë qëllim e marrim funksionin $y=f(x)$, zona e përcaktimit të cilit është $X$. Le të jetë $a$ një vlerë e argumentit $x$ nga zona e përcaktimit. Shënojmë me $x$ një vlerë tjetër (të re) të argumentit nga rrethina e pikës $a$.        P ë r k u f i z i m i  2.7.3. - Shtesa e argumentit $x$ në pikën $a$ quhet ndryshimi $x-a$ dhe shënohet $\Delta x$, pra: $\Delta x=x-a$.[2]         Nga relacioni i fundit del se $x=a+\Delta x$.        P ë r k u f i z i m i  2.7.4. - Shtesa e funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$ quhet ndryshimi $f(x)-f(a)$ dhe shënohet $\Delta y$[3], pra: $\Delta y=f(x)-f(a)\ \mathrm {ose} \ \Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)$.         Nga relacioni i fundit shihet se shtesa e funksionit $\Delta y$ varet nga $\Delta x$, e jo nga argumenti $x$, d.m.th. shtesa e funksionit $\Delta y$ është funksion i shtesës së argumentit $\Delta x$.         Prej përkufizimit 2.7.1. (e vazhdueshmërisë së funksionit $f(x)$ në pikën $a$) rrjedh se për çdo numër pozitiv $\varepsilon >0$, ekziston numri përkatës pozitiv $\delta$ i tillë që $|f(x)-f(a)|<\varepsilon \ \mathrm {kur} \ |x-a|<\delta$. Kur në këto relacione zëvendësohen : $f(x)-f(a)=\Delta y$ dhe $x-a=\Delta x$ del: $|\Delta y|<\varepsilon$ kur $|\Delta x|<\delta$. Në bazë të këtyre të dhënave konkludojmë: Kur funksioni $y=f(x)$ është i vazhdueshëm në pikën $a$, shtesës së vogël të argumentit i përgjigjet shtesa e vogël e funksionit, ose më saktësisht, shtesa e funksionit $\Delta y$ është pambarimisht e vogël, kur $\Delta x\rightarrow 0$. Pra, themi:        P ë r k u f i z i m i  2.7.5. - Funksioni $y=f(x)$ quhet i vazhdueshëm në pikën $a$, nëse shtesa e tij $\Delta y$ në pikën $a$ është funksion $\mathrm {pmv}$, kur $\Delta x\rightarrow 0$.[4]         Krahas vazhdueshmërisë së funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$ flitet edhe për vazhdueshmërinë e tij në bashkësitë numerike.        P ë r k u f i z i m i  2.7.6. - Funksioni $y=f(x)$ quhet i vazhdueshëm në intervalin $(a,b)$ (segmentin $[a,b]$), në goftë se ai është i vazhdueshëm në çdo pikë të këtij intervali (segmenti).[5]        S h e m b u l l i  32. -  Të vërtetohet se funksioni $y=\cos x$ është i vazhdueshëm në bashkësinë e numrave realë $\mathbb {R}$.

< 1260 faqe - 1261 - 1262 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1260 faqe - 1261 - 1262 >