Hipi Zhdripi i Matematikës/1121

Hipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse varësia lineare e rreshtave të matricës $A$ implikon që $\det A=0$ (meqë në atë rast $\det A$ mund të shprehet në formë të shumës së disa përcaktorëve që përmbajnë nga dy rreshta me elemente përkatëse proporcionale). Nga këto që thamë për rreshtat e matricës katrore $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ vlen edhe për shtyllat e saj, prandaj konkludojmë: Nëse rreshtat e matricës $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ janë linearisht të varur, atëherë edhe shtyllat e saj janë linearisht të varura; ose në përgjithësi vlen: T e o r e m a 7.3.2. - Në çdo matricë drejtkëndore $A=[a_{ik}]_{m,n}$ numri i rreshtave të pavarur të saj është i barabartë me numrin e shtyllave të pavarura të saj. 7.4. MATRICAT EKUIVALENTE Transformime elementare të matricës quhen këto veprime: 1°. Permutimi i cilido dy rreshtave (ose shtyllave); 2°. Shumëzimi i një rreshti (ose shtylle) me një numër çfarëdo $\lambda .(\neq 0)$ ; 3°. Mbledhja e një rreshti (ose shtylle) me një rresht (ose shtyllë) tjetër më parë të shumëzuar me një numër çfarëdo. Dy matrica $A,B$ quhen matrica ekuivalente nëse njëra mund të transformohet në tjetrën me një numër të fundëm transformimesh elementare. Matricat ekuivalente shënohen : $A\thicksim B$ . Kuptohet, nëse dy matrica $A,B$ janë ekuivalente, nuk do të thotë se ato janë të barabarta. Pra, ekuivalenca e matricave nuk implikon barabarsinë e tyre $A\thicksim B\nRightarrow A=B$ , por implikon barazinë e rangjeve të tyre: $A\thicksim B\Rightarrow r(A)=r(B)$ . T e o r e m a 7.4.1. - Matricat ekuivalente i kanë rangjet e barabarta. V ë r t e t i m Këtu, në të vërtetë, duhet vërtetuar se me transformime elementare nuk ndryshohet rangu i matricës. Për këtë qëllim le të marrim bashkësinë e formave lineare: $f_{i}=\sum _{k=1}^{n},a_{ik}x_{k}\ (l=1,2,\cdots ,m)$ matrica e së cilës është $A=[a_{ik}]_{m,n}$ . Tani arsyetojmë në këtë mënyrë: 1°. Kur në (41a) dy forma lineare çfarëdo permutohen, numri i formave të pavarura nuk ndryshohet, pra me këtë rast nuk ndryshohet as rangu i matricës $A$ ; 2°. Kur në (41a) cilëndo formë lineare e shumëzojmë me një numër çfarëdo $\lambda (\neq 0)$ , numri i formave të pavarura nuk ndryshohet, prandaj nuk ndryshohet as rangu i matricës $A$ ; dhe