Hipi Zhdripi i Matematikës/1138

2.3. SHUMËZIMI DHE PJESËTIMI I VEKTORIT ME SKALAR Le ta aplikojmë formulën (1b) për rastin kur mbledhësit (komponentet) janë të barabartë : ${\vec {a}}_{1}={\vec {a}}_{2}=\ldots ={\vec {a}}_{n}={\vec {a}}$ . Do të të përftohet: ${\vec {a}}_{1}+{\vec {a}}_{2}+\ldots +{\vec {a}}_{n}=n{\vec {a}}$ . (...3) Vektori i përftuar $n{\vec {a}}$ është kolinear me vektorin ${\vec {a}}$ dhe paraqet prodhimin e vektorit ${\vec {a}}$ me skalarin $n$ . P ë r k u f i z i m i 2.3.1. - Prodhimi i vektorit ${\vec {a}}$ me skalarin $n$ është vektori kolinear ${\vec {b}}(=n{\vec {a}})$ , intensiteti i të cilit është $\|n\|$ herë më i madh se intensisteti i vektorit ${\vec {a}}$ , ndërsa kahu i njëjtë apo i kundërt me kahun e vektorit ${\vec {a}}$ , varësisht se a është $n>0$ apo $n<0$ . Nga ky përkufizim del se çdo vektor ${\vec {a}}$ mund të paraqitet në formë të prodhimit të modulit $\|{\vec {a}}\|$ dhe ortit ${\vec {a}}_{0}$ të vet: ${\vec {a}}=\|{\vec {a}}\|\cdot {\vec {a}}_{0}$ . (...4) Vektori ${\vec {a}}$ pjesetohet me skalarin $n(\neq 0)$ , kur shumëzohet me ${\frac {1}{n}}$ : ${\vec {a}}:n={\frac {1}{n}}{\vec {a}}$ . (...5) Duke pasur parasysh këtë relacion, formula (4) mund të paraqitet në këtë trajtë: ${\vec {a}}_{0}={\frac {1}{\|{\vec {a}}\|}}{\vec {a}}$ , (...4a) d.m.th. orti i një vektori është i barabartë me herësin e vektorit me modulin e tij. Përkufizimi 2.3.1. përcakton prodhimin $n{\vec {a}}$ si veprim i jashtëm (ligj ekstern) në bashkësinë ${\vec {V}}$ . Në përgjithësi, thuhet se: Ndërmjet elementeve të bashkësisë së skalarëve $S$ dhe elementeve të bashkësisë së vektorëve ${\vec {V}}$ është përkufizuar një veprim i jashtëm (ligj ekstern), nëse secilës dyshe të renditur $(\alpha ,{\vec {a}}$ të elementeve $\alpha (\in S)$ dhe ${\vec {a}}(\in {\vec {V}})$ i shoqërohet pikërisht një element ${\vec {b}}$ i bashkësisë ${\vec {V}}$ . Për shumëzimin e vektorit me skalarë viejnë këto ligje: (b₁) $1\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}$ ; (b₂) $m(n{\vec {a}})=(mn){\vec {a}}$ ; (b₃) $(m+n){\vec {a}}=m{\vec {a}}+n{\vec {a}}$ ; (b₄) $m({\vec {a}}+{\vec {b}})=m{\vec {a}}+m{\vec {b}}$ .