- sitë e pafundme ekuipotente i kanë numrat kardinalë [1] të barabartë : d.m .th. :
A~B  card A  card B. (...36)
- P.sh. : (1) card
 card  ; (2) card  card .
- Numri kardinal i bashkësisë së numrave natyralë shënohet card
 0 , ( lexo : alef zero), ndërsa i bashkësisë së numrave realë  shënohet card c dhe thuhet se bashkësia ka fuqinë e kontinuumit.
- P ë r k u f i z i m i 4.1.3. - Bashkësitë që janë ekuipotente me bashkësinë e numrave natyralë quhen bashkësi të numërueshme.
- Kështu, për shembull, bashkësia e numrave te plotë dhe bashkësia e numrave racionalë
 janë bashkësi të numërueshme (sepse : ~ dhe ~ ), ndërkaq bashkësia e numrave realë nuk është bashkësi e numërueshme.
PASQYRIMI (FUNKSIONI) INVERS
- Pasqarimin f : A→B e bashkësisë A në bashkësinë B zakonisht e shprehim me formulën f : x→y f(x),
 x  A . Mirëpo, nëse dëshirojmë që bashkësinë B ta pasqyrojmë në bashkësinë A , në pajtim me përkufizimin 4.1.1., shtrohet çështja e ekzistimit të një pasqyrimi të këtillë dhe shfaqet problemi i mundësisë që nga funksioni i dhënë f të formohet një funksion tjetër g , i tillë që secilit y B t'i shogërojë pikërisht një transformat x A , pra të vlejë : g : y→x g (y), y B . Ky funksion x g (y) , nëse ekziston, quhet funksion invers i funksionit y f(x) . Kuptohet pasqyrimi y : B→A do të ekzistojë, nëse vlen :
( y B) (  x A) g : y→x g (y) . (...37)
- D.m.th. për funksionin y f(x) ekziston funksioni invërs x g (y) , atëherë dhe vetëm atëherë, kur f është pasqyrim bijektiv. Në këtë rast pasqyrimet (funksionet) f dhe g quhen reciprokisht inverse. Pasqyrimi invers i pasqyrimit f zakonisht shënohet me f -1 .
- Andaj, për pasqyrimin bijektiv f ndërmjet bashkësive A, B vlen :
f : x→y f(x) f -1 : y→x f -1 (y), (...38)
Fig. 1.15.
|
|
- ku nëse x1
 x2 , atëherë y1 Y2 dhe e anasjellta (fig. 1.15.).
- Meqë kushti i ekzistimit të funksionit invers f -1 për funksionin e dhënë f është që f të jetë një korrespondencë biunivoke ndërmjet bashkësive A , B , andaj konkludojmë:
- (1) Domeni i f -1 është kodomen i f , kodomeni i , f -1 është domeni i f ,
- ↑ 13) Numër kardinal i bashkësisë A quhet ajo cilësi e saj e cila karakterizon çdo bashkësi B e barasfuqishme me bashkësinë A .
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
|
