Hipi Zhdripi i Matematikës/1236

Z g j i d h j e : Meqenëse:        $1+2^{-1}+2^{-2}+\dots +2^{-n}=\frac{1-2^{-(n+1)}}{1-2^{-1}}=2[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}]$ dhe        $1+3^{-1}+3^{-2}+\dots +3^{-n}=\frac{1-3^{-(n+1)}}{1-3^{-1}}=2[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}]$ konkludojmë se: $a_n=\frac{4}{3}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}$ prej nga marrim : $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4}{3}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}=\frac{4}{3}\cdot \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\right]}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\right]}=\frac{4}{3}$        S h e m b u l l i  6. -  Të caktohet limiti i vargut, kufiza e përgjithshme e të cilit është $a_n=\frac{\sin n^2}{7n}$.        Z g j i d h j e : Meqenëse $(\mathrm{\forall }x\in ℝ)|\sin x|⩽1$, marrim: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin n^2}{7n}=\frac{1}{7}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin n^2}{n}=0$.        S h e m b u l l i  7. -  Të caktohet limiti i vargut, kufiza e përgjithshme e të cilit është $a_n=\frac{1+3+5+\dots +(2n-1)}{n+1}-\frac{2n+1}{2}$.        Z g j i d h j e : Pasi që $a_n=\frac{1+3+5+\dots +(2n-1)}{n+1}-\frac{2n+1}{2}=\frac{n^2}{n+1}-\frac{2n+1}{2}=-\frac{3n+1}{2(n+1)}$, marrim: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2(n+1)}=-\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(3+\frac{1}{n})}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2+\frac{2}{n})}=-\frac{3}{2}$        S h e m b u l l i  8. -  Të provohet se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n}})=1$        Z g j i d h j e : Zgjidhjen e detyrës e bazojmë në jobarazinë e dyfishtë: $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})\frac{n}{\sqrt[3]{n^3+1}}<\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n}}<\frac{n}{\sqrt[3]{n^3}}$ prej nga marrim $\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}}<\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n}}<1$

< 1235 faqe - 1236 - 1237 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

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