- Z g j i d h j e : Meqenëse:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{2x}-e^{x}}{\sin 2x-\sin x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}(e^{x}-1)}{\sin x(2\cos x-1)}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2\cos x-1}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{\sin x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{\sin x}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\frac {e^{x}-1}{x}}{\frac {\sin x}{x}}}={\frac {{\underset {x\to 0}{\lim }}{\frac {e^{x}-1}{x}}}{{\underset {x\to 0}{\lim }}{\frac {\sin x}{x}}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}\\&={\begin{vmatrix}\mathrm {Z{\ddot {e}}vend.} \ e^{x}-1\Rightarrow y=\ln(1+y)\\\mathrm {Kur} \ x\rightarrow 0\Rightarrow y\rightarrow 0\end{vmatrix}}=\lim _{y\to 0}{\frac {y}{\ln(1+y)}}\\&=\lim _{y\to 0}{\frac {1}{{\frac {1}{y}}\cdot \ln(1+y)}}={\frac {1}{\ln \left[{\underset {y\to 0}{\lim }}\left(1+y\right)^{1/y}\right]}}=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66885e857d17b728efc42ed167c5931340eb21f2)
- konkludojmë se funksionet e dhëna janë ekuivalente.
2.7. VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT
- Me konceptin e limitit është i lidhur ngushtësisht edhe një koncept tjetër fundamental i analizës matematike - koncepti i vazhdueshmërisë së .funksionit. Në shumë procese dhe fenomene natyrore dhe shoqërore është prezente ideja e vazhdueshmërisë së zhvillimit, ku ndryshimeve pambarimisht të vogla të faktorëve nga të cilët varen ato procese dhe fenomene u përgjigjen ndryshime pambarimisht të vogla të tyre. Kjo cilësi, në të vërtetë, përbën esencën e konceptit të vazhdueshmërisë. Zatën, funksionet e vazhdueshme përmbajnë klasën themelore të funksioneve që shqyrtohen në analizën matematike. Të shohim tani këtu kriterin matematik të vazhdueshmerisë.
- P ë r k u f i z i m i 2.7.1. - Funksioni
 quhet i vazhdueshëm në pikën  , nëse ekziston limiti i tij në pikën dhe ky limit është i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë[1], pra:
 . (31)
- Nga ky përkufizim del se funksioni është i vazhdueshëm në pikën , nëse plotësohen këto tri kondita:
- 1° funksioni
 është i përkufizuar në pikën ;
- 2° ekziston limiti i funksionit në pikën dhe
- 3° Limiti i funksionit në pikën është i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë.
- P.sh., funksioni
 është i vazhdueshëm në pikën  , meqenëse është i përkufizuar në këtë pikë, ku  dhe  .
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
|
