Hipi Zhdripi i Matematikës/1117

V ë r t e t i m Në bazë të ligjeve për transponimin e matricave (p. 4.1.) kemi: (a) $(A+A')'=A'+(A')'=A'+A$ , d.m.th. $(A+A')'=A+A'$ , prandaj konkludojmë se $A+A'$ është matricë simetrike; (b) $(A+{\bar {A}}')'=A'+({\bar {A}}')'=A'+{\bar {A}}$ , ${\overline {A'+{\bar {A}}}}={\bar {A}}'+({\overline {\bar {A}}})={\bar {A}}'+A$ , d.m.th.: $({\overline {A+{\bar {A}}'}})'=({\overline {A'+{\bar {A}}}})={\bar {A}}'+A$ , prandaj konkludojmë se $A+A'$ është matricë e Hermitit. 7. FORMAT LINEARE 7.1. RANGU I MATRICËS Le të jetë dhënë matrica drejtkëndore $A=[a_{ik}]_{m,n}$ . Nga kjo matricë i veçojmë $p$ rreshta dhe $p$ shtylla, ku $1\leqslant p\leqslant min(m,n)$ . Elementet që ndodhen në prerjen e këtyre rreshtave dhe shtyllave formojnë një matricë katrore të rendit $p$ e cila quhet submatrica katrore e matricës $A$ . Kuptohet matricës drejtkëndore $A=[a_{ik}]_{m,n}$ i përkasin submatricat katrore të rendeve të ndryshme, prej rendit $1$ e deri te rendi $p=min(m,n)$ . Pra, rendi më i lartë i submatricave katrore të matricës $A$ është $p=min(m,n)$ . Kur $m\leqslant n$ , atëherë matricës $A$ i përkasin gjithsej ( ${\begin{smallmatrix}m\\n\end{smallmatrix}}$ ) submatrica katrore të rendit $m$ , ndërkaq kur $n\leqslant m$ , asaj i përkasin ( ${\begin{smallmatrix}n\\m\end{smallmatrix}}$ ) submatrica katrore të rendit $n$ . P ë r k u f i z i m i 7.l.1. - Matrica $A=[a_{ik}]_{m,n}$ ka rangun $r$ nëse ndërmjet submatricave katrore të kësaj matrice ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$ , ndërsa submatricat katrore të rendit më të lartë se $r$ , edhe nëse ekzistojnë, janë singulare. Rangu i zero-matricës është $0$ . Rangu i matricës $A$ simbolikisht shënohet me $r(A)$ ose $rang(A)$ . P.sh. rangu i matricës $A={\begin{bmatrix}2&\ 5&\ 8&2&3\\1&\ 4&\ 4&1&2\\1&-2&\ 4&1&0\\3&\ 1&12&3&2\\\end{bmatrix}}$ është $r=3$ , pasi që të gjitha submatricat katrore të rendit të katërt të saj janë singulare, kurse ekziston një submatricë regulare e rendit tretë. E atillë është b.f. submatrica: ${\begin{bmatrix}\ 4&1&2\\-2&1&0\\\ 1&3&2\\\end{bmatrix}}$