Hipi Zhdripi i Matematikës/1110

(b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura: $a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}.\,$ S h e m b u l l i 14. - Për vlerat e ndryshme të parametrit $m$ të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit: ${\begin{matrix}mx_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+mx_{2}+x_{3}=m\\x_{1}+x_{2}+mx_{3}=m^{2}.\end{matrix}}$ Z g j i d h j e : Meqë në këtë rast $D\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(m\!+\!2)\!,\!D\!_{1}\!=\!-\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(\!m\!+\!1\!)\!,\!D\!_{2}\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!,\!D\!_{3}\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(\!m\!+\!1\!)\!^{2}$ ku ylerat karakteristike të parametrit $m$ për përcaktorin kryesor janë $-2$ dhe $1$ , kurse për përcaktorët karakteristikë $-1$ dhe $1$ , pra: (a) Për $\forall m\neq -2\vee 1:D\neq 0$ , sistemi i dhënë është i mundshëm ku $x_{1}={\frac {m+1}{m+2}},\ x_{2}={\frac {1}{m+2}},\ x_{3}={\frac {(m+1)^{2}}{m+2}},$ (b) Për $m=-2:D=0,\exists A_{ik}\neq 0$ (p.sh. $A_{33}=3$ ) dhe $D_{3}=9\neq 0$ , prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm; (c) Për $m=1:D=0,A_{ik}=0\ (\forall i,k=1,2,3),\exists a_{ik}\neq 0$ (p.sh. $a_{11}=1$ ) dhe ${\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}}=0,\;{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}}=0$ prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ . Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë $(1-m-n,m,n)$ ku $m,n$ janë dy parametra çfarëdo. 5.6. SISTEMI I $n$ EKUACIONEVE LINEARE ME $n$ TË PANJOHURA Forma e përgjithshme e sistemit të $n$ ekuacioneve (barazimeve) lineare me $n$ të panjohura është: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{matrix}}$ ku njëlloj, sikurse për sistemin (32), përkufizohet përcaktori kryesor $D$ , përcaktorët karakteristikë $D_{k}(k=1,2,\cdots ,n)$ dhe zgjidhja $(t_{1},t_{2},\cdots ,tn)$ e këtij sistemi. Gjithashtu, në mënyrë analoge, nxirren formulat e Cramerit respektivisht i shumëzojmë me radhë ekuacionet e këtij sistemi me kofaktorët $A_{ik}$ të