- T e o r e m a 1.2. - Asnjë numër natyral nuk është më i vogël se njëshi.
- Pra, meqë numri 1 është numri më i vogël natyral, konkludojmë se vargu i numrave natyralë është i kufizuar nga e majta,
- T e o r e m a (aksioma e Arkimedit) 1.3. - Për çdo dy numra natyralë a, b ku a < b, ekziston numri natyral n i tillë që a • n > b.
- Pra, mund të konkludojmë se nuk ekziston numri më i madh natyral ose se vargu i numrave natyralë nuk është i kufizuar nga ana e djathtë.
- Për mbledhjen dhe shumëzimin e numrave natyralë vlejn këto ligje të rëndësishme:
- (1) (
 a, b, c  )
|
(a+b)+c a+(h+c), (a• b) • ca • (b • e) ;
|
- (2) (a, b )
|
a+bb+a, a • bb • a;
|
- (3) (a, b, c)
|
a • (b+c)a • b+a• c, (a+b) • ca • c+ b • c;
|
- (4) (a, b, c)
|
a>b a+c>b+c
aba+cb+c
a<ba+c<b+c;
|
- (5) (a,b,c)
|
a>ba•c>b•c
aba<ba•c<b•c;
|
- (6) (a,b,c,d)
|
a>b c>da+c>b+d
abcd a+cb+d
a<bc<da+c<b+d;
|
- (7) (a,b,c,d)
|
a>bc>da•c>b•d
abcda<bc<da•c<b•d[1]
|
- Bashkësia e numrave natyralë lidhur me veprimin invers të mbledhjes zbritjen -, përkatësisht lidhur me veprimin invers të shumëzimit - pjesëtimin - nuk është e mbyllur. Shi për këtë thuhet:
- - Ndryshimi a - b i dy numrave natyralë a, b ekziston atëherë dhe vetëm atëherë, kur a > b ; dhe
- - Herësi a:b i dy numrave natyralë a, b ekziston atëherë dhe vetëm atëherë, kur a: b (ose a q • b, q ).
- Për të bërë zbritjen, përkatësisht pjesëtimin veprim të brendshëm në bashkësinë numerike, duhet të zgjerohet bashkësia .
- Në konceptin e plotpjesëtueshmërisë së numrave bazohet klasifikimi i numrave natyralë në numra primë (të thjeshtë), numra të përbërë, numra çiftë (parë) dhe numra tekë (cupë).
- P ë r k u f i z i m i 1.5. - Numër prim quhet numri natyral më i madh se 1 që plotpjesëtohet me vetvetën dhe me numrin 1. Numri natyral më i madh se 1 që nuk është prim, quhet numër i përbërë.
- ↑ 3) Vërtetimin e dy ligjeve të para (sa për ilustrim kemi paraqitur në shembujt 2 dhe 3 (faqe 57, 58)
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
|
