Hipi Zhdripi i Matematikës/1026

Relacioni i ekuivalencës ~ i përkufizuar në bashkësinë A e zbërthen atë në nënbashkësi që quhen klaset e ekuivalencës. Kështu, nëse a$\in$A, atëhetë elementet e bashkësisë A që janë ekuivalent me elementin a (d.m.th. $\mathrm{\forall }$x$\in$A x~a) formojnë nënbashkësinë Ca$=${x$\mid$x$\in$A$\wedge$x~a}, (...27) e cila quhet klasa e ekuivalencës ~ me përfaqësuesin a.        Kur bashkësia A, lidhur me ekuivalencën ~, zbërthehet në klasa, atëherë:        (a1) Çdo element i bashkësisë A i përket një klase ;        (a2) Asnjë element nuk u përket dy klasave të ndryshme ; dhe        (a3) Unioni i të gjitha klasave është i barabartë me bashkësinë A.        Pra konkludojmë se klasat e ekuivalencës janë disjunkte ndërmjet tyre.        T e o r e m a  3.2.1. - Çdo ekuivalencë ~ në bashkësinë A e përkufzon një zbërthim të A-së në klasa të ekuivalencës dhe e anasjellta, çdo zbërthim të bashkësisë A në klasa të ekuivalencës e përkufzon një relacion të ekuivalencës në bashkësinë A.        V ë r t e t i m : a) Le të supozojmë të kundërtën - se dy klasa të ndryshme Ca, Cb nuk janë disjunkte : Ca$\cap$Cb$\ne$$\varnothing$ . Atëherë del se : ($\mathrm{\exists }$c$\in$A) c$\in$Ca$\wedge$c$\in$Cb , nga marrim a~c$\wedge$c~b$\Rightarrow$a~b, meqë relacioni ~ është transitiv.        Tani, në bazë të formulës së përftuar a~b, mund të provojmë se CaCb dhe CbCa . Vërtet:        (1) ($\mathrm{\forall }$x$\in$Ca) x~a , andaj kemi: x~a$\wedge$a~b$\Rightarrow$x~b$\iff$x$\in$Cb , çka, sipas përkufizimit 2.1.1., del se CaCb ;        (2) ($\mathrm{\forall }$y$\in$Cb) y~b , andaj: y~b$\wedge$b~a$\Rightarrow$y~a$\Rightarrow$y$\in$Ca , d.m.th. CbCa .        Në fund, në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim : CaCb$\wedge$CbCa$\Rightarrow$Ca$=$Cb .        Pra, nga supozimi Ca$\cap$Cb del se klasat e ekuivalencës Ca, Cb nuk janë të ndryshme (Ca$=$Cb) , andaj konkludojmë se pohimi i parë i teoremës është i saktë.        b) Për të vërtetuar pohimin e anasjelltë supozojmë se Ca, Cb, Cc... paraqet një zbërthim çfarëdo të bashkësisë A në klasa të ekuivalencës ... Në bashkësinë A e përkufizojmë relacionin binar ρ në këtë mënyrë : Për elementet (x, y $\in$ A) x ρ y $\iff$ ($\mathrm{\exists }$!Ct, x, y $\in$ Ct) .

< 1025 faqe - 1026 - 1027 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1025 faqe - 1026 - 1027 >