- Relacioni i ekuivalencës ~ i përkufizuar në bashkësinë A e zbërthen atë në nënbashkësi që quhen klaset e ekuivalencës. Kështu, nëse a
 A, atëhetë elementet e bashkësisë A që janë ekuivalent me elementin a (d.m.th.  xA x~a) formojnë nënbashkësinë
Ca {x xA x~a}, (...27)
- e cila quhet klasa e ekuivalencës ~ me përfaqësuesin a.
- Kur bashkësia A, lidhur me ekuivalencën ~, zbërthehet në klasa, atëherë:
- (a1) Çdo element i bashkësisë A i përket një klase ;
- (a2) Asnjë element nuk u përket dy klasave të ndryshme ; dhe
- (a3) Unioni i të gjitha klasave është i barabartë me bashkësinë A.
- Pra konkludojmë se klasat e ekuivalencës janë disjunkte ndërmjet tyre.
- T e o r e m a 3.2.1. - Çdo ekuivalencë ~ në bashkësinë A e përkufzon një zbërthim të A-së në klasa të ekuivalencës dhe e anasjellta, çdo zbërthim të bashkësisë A në klasa të ekuivalencës e përkufzon një relacion të ekuivalencës në bashkësinë A.
- V ë r t e t i m : a) Le të supozojmë të kundërtën - se dy klasa të ndryshme Ca, Cb nuk janë disjunkte : Ca
 Cb  . Atëherë del se :
( cA) cCacCb ,
- nga marrim
a~cc~b a~b,
- meqë relacioni ~ është transitiv.
- Tani, në bazë të formulës së përftuar a~b, mund të provojmë se Ca
 Cb dhe CbCa . Vërtet:
- (1) (xCa) x~a , andaj kemi:
x~aa~bx~b xCb ,
- çka, sipas përkufizimit 2.1.1., del se CaCb ;
- (2) (yCb) y~b , andaj:
y~bb~ay~ayCa ,
- d.m.th. CbCa .
- Në fund, në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim :
CaCbCbCaCaCb .
- Pra, nga supozimi CaCb del se klasat e ekuivalencës Ca, Cb nuk janë të ndryshme (CaCb) , andaj konkludojmë se pohimi i parë i teoremës është i saktë.
- b) Për të vërtetuar pohimin e anasjelltë supozojmë se Ca, Cb, Cc... paraqet një zbërthim çfarëdo të bashkësisë A në klasa të ekuivalencës ... Në bashkësinë A e përkufizojmë relacionin binar ρ në këtë mënyrë : Për elementet
(x, y A) x ρ y (!Ct, x, y Ct) .
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
|
