Hipi Zhdripi i Matematikës/1026

Nga Wikibooks
Jump to navigation Jump to search
       Relacioni i ekuivalencës ~ i përkufizuar në bashkësinë A e zbërthen atë në nënbashkësi që quhen klaset e ekuivalencës. Kështu, nëse aA, atëhetë elementet e bashkësisë A që janë ekuivalent me elementin a (d.m.th. xA x~a) formojnë nënbashkësinë
Ca{xxAx~a}, (...27)
e cila quhet klasa e ekuivalencës ~ me përfaqësuesin a.
       Kur bashkësia A, lidhur me ekuivalencën ~, zbërthehet në klasa, atëherë:
       (a1) Çdo element i bashkësisë A i përket një klase ;
       (a2) Asnjë element nuk u përket dy klasave të ndryshme ; dhe
       (a3) Unioni i të gjitha klasave është i barabartë me bashkësinë A.
       Pra konkludojmë se klasat e ekuivalencës janë disjunkte ndërmjet tyre.
       T e o r e m a  3.2.1. - Çdo ekuivalencë ~ në bashkësinë A e përkufzon një zbërthim të A-së në klasa të ekuivalencës dhe e anasjellta, çdo zbërthim të bashkësisë A në klasa të ekuivalencës e përkufzon një relacion të ekuivalencës në bashkësinë A.
       V ë r t e t i m : a) Le të supozojmë të kundërtën - se dy klasa të ndryshme Ca, Cb nuk janë disjunkte : CaCb . Atëherë del se :
(cA) cCacCb ,
nga marrim
a~cc~ba~b,
meqë relacioni ~ është transitiv.
       Tani, në bazë të formulës së përftuar a~b, mund të provojmë se CaInkluzion.PNGCb dhe CbInkluzion.PNGCa . Vërtet:
       (1) (xCa) x~a , andaj kemi:
x~aa~bx~bxCb ,
çka, sipas përkufizimit 2.1.1., del se CaInkluzion.PNGCb ;
       (2) (yCb) y~b , andaj:
y~bb~ay~ayCa ,
d.m.th. CbInkluzion.PNGCa .
       Në fund, në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim :
CaInkluzion.PNGCbCbInkluzion.PNGCaCaCb .
       Pra, nga supozimi CaCb del se klasat e ekuivalencës Ca, Cb nuk janë të ndryshme (CaCb) , andaj konkludojmë se pohimi i parë i teoremës është i saktë.
       b) Për të vërtetuar pohimin e anasjelltë supozojmë se Ca, Cb, Cc... paraqet një zbërthim çfarëdo të bashkësisë A në klasa të ekuivalencës ... Në bashkësinë A e përkufizojmë relacionin binar ρ në këtë mënyrë : Për elementet
(x, y A) x ρ y (!Ct, x, y Ct) .


< 1025
faqe
- 1026 -

1027 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1025
faqe
- 1026 -

1027 >