Hipi Zhdripi i Matematikës/1264

V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës: $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$, $\lim _{x\to a}g(x)=g(a)$ dhe në bazë të formulave (7b) kemi: $\lim _{x\to a}\left[f(x)\pm g(x)\right]=\lim _{x\to a}f(x)\pm \lim _{x\to a}g(x)=f(a)\pm g(a)$ çka do të thotë se vërtet shuma dhe ndryshimi i dy funksioneve të vazhdueshme në pikën $a$ është funksion i vazhdueshëm në këtë pikë. Në mënyrë analoge vërtetohet edhe vazhdueshmëria e prodhimit dhe e herësit.        T e o r e m a  2.7.2.2. - Të gjitha funksionet elementare themelore janë të vazhdueshme në zonat e tyre të përcaktimit.        V ë r t e t i m Për funksionet elementare themelore vlen formula (13a): $(\forall x\in X)\lim _{x\to a}f(x)=f(\lim _{x\to a}x)$ e cila shpreh faktin se limiti i cilitdo funksion elementar themelor në cilëndo pikë nga zona e përcaktimit të tyre është i barabartë me vlerën e atij funksioni në atë pikë, prandaj (në bazë të përkufizimit 2.7.1.) konkludojmë se pohimi i kësaj teoreme është i saktë.        T e o r e m a  2.7.2.3. - Funksioni $y=f(x)$ i vazhdueshëm në $[a,b]$ është i kufizuar në te.        T e o r e m a (e Weierstrassit) 2.7.2.4. - Funksioni $y=.f(x)$ i vazhdueshëm merr në te vlerën e vet më të madhe dhe vlerën e vet më të vogël.        T e o r e m a (e Bolzanos) 2.7.2.5. - Funksioni $y=f(x)$ i vazhdueshëm në $[a,b]$ e që në skajet e këtij segmenti ka vlera me parashenja të kundërta $(f(a)\cdot f(b)<0)$, ndërmjet pikave $a$, $b$ ka të paktën një pikë $c$ e atillë që $f(c)=0$.        V ë r t e t i m Marrim se $f(a)<0<f(b)$, E përgjysmojmë segmentin $[a,b]$. Le të jetë pika $d$ mesi i $[a,b]$. Nëse $f(d)=0$, themi se teorema u vërtetua, ndërkaq nëse $f(d)\neq 0$, atëherë për $f(d)>0$ e marrim segmentin $[a,d]$, në rast të kundërt segmentin $[d,b]$. Le ta shënojmë segmentin përkatës me $\Delta$. Në këtë segment plotësohen të gjitha konditat e teoremës. E përgjysmojmë edhe këtë segment ku marrim pikën $d_{1}$. Për $f(d_{1})=0$, themi se teorema u vërtetua, ndërkaq nëse $f(d_{1})\neq 0$, marrim përsëri atë gjysmësegment $\Delta$, në të cilin plotësohen konditat e teoremës. Ky proces i përgjysmimit të segmentit dhe e zgjedhjes së gjysmësegmentit që plotëson konditat e teoremës së Bolzanos mund të vazhdohet deri në pafund dhe kështu përftohet vargu i numrave $d,d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n},\ldots$ dhe vargu monoton zvogëlues i segmenteve $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2},\ldots ,\Delta _{n},\ldots$ Për rastin kur $f(d_{n})\neq 0\ (n=1,2,\ldots )$ themi se në segmentin $\Delta _{n}$ plotësohen konditat e teoremës së Bolzanc. Le të jetë $c$ një pikë e segmentit $\Delta _{n}$, kurse $(c-\delta ,c+\delta )$ rrethina e pikës $c$ e cila e përmban atë segment. Meqenëse në rrethinën $(c-\delta ,c+\delta )$ e pikës $c$, sado i vogël qoftë numri pozitiv $\delta >0$, funksioni $y=f(x)$ merrë vlera me parashenja të ndryshme, kurse ky funksion është i vazhdueshëm në pikën $c$, andaj del se në këtë pikë vlera e funksionit është zero $(f(c)=0)$, çka edhe donim të vërtetonim.        T e o r e m a  2.7.2.6. - Funksioni i vazhdueshëm në $[a,b]$ ku $f(a)\neq f(b)$, në këtë segment merr si vlera çdo numër ndërmjet $f(a)$ dhe $f(b)$.

< 1263 faqe - 1264 - 1265 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1263 faqe - 1264 - 1265 >