Hipi Zhdripi i Matematikës/1056

P ë r k u f i z i m i  1.6. - Numër çift quhet numri natyral që plotpjesëtohet me 2. Numri natyral që nuk është çift, quhet numër tek.        Me 2n, respektivisht 2n $\pm$ 1, ku n $\in$ $\mathbb{N}$ , shënohet cilido numër çift, përkatësisht tek.        V ë r e j t j e: Në aksiomën 1.4. bazohet ligjshmëria e vërtetimit induktiv të pohimeve (teoremave) që në matematikë përmendet me emrin metoda e induksionit të plotë matematikor. Kjo metodë shprehet në këtë mënyrë:        Le të jetë F (n) një pohim (funksion gjykimesh) i përkufizuar në bashkësinë e numrave natyralë $\mathbb{N}$. Për të vërtetuar se:         ($\mathrm{\forall }$n $\in$ N) F(n) (1) është gjykim i saktë, bëhen këto dy vërtetime:        (a) Së pari vërtetohet se:         F (1) është gjykim i saktë, (2) i cili quhet baza e induksionit, dhe        (b) Së dyti vërtetohet se         ($\mathrm{\forall }$n $\in$ N) F(n) $\Rightarrow$ F(n+ 1), (3) i cili quhet hapi i induksionit.        Pastaj konkludohet se nga formulat (2) dhe (3) rrjedh formula (1).        Vërtet, nëse e marrim se m $\in$ $\mathbb{N}$ është një numër çfarëdo natyral, atëherë për të vërtetuar se F(m) është gjykim i saktë, veprojmë kështu:        Për m$=$1 konstatojmë se F(1) është i saktë, ndërkaq për m>1 formojmë një sërë implikacionesh të trajtës (3) për vlerat e numrit m prej 1 deri në m-1, pra: F(1) $\Rightarrow$ F(2) F(2) $\Rightarrow$ F(3) $⋮$ F(m-1) $\Rightarrow$ F(m).        Tani arsyetojmë: Meqë F(1) është i saktë, edhe F(2) është i saktë; meqë F(2) është i saktë, edhe F(3) është i saktë; ...; meqë F(m-1) është i saktë, edhe F(m) është i saktë; çka do të thotë se         ($\mathrm{\forall }$n $\in$ $\mathbb{N}$) v (F(n)) $=$ $\mathrm{\top }$ .        Ngadonjëherë për vërtetimin e pohimit të formës ($\mathrm{\forall }$n$\in$ $\mathbb{N}$) F(n) aplikohet induksioni me bazën e dyfishtë F(1) $\wedge$ F(2) dhe me hapin e induksionit në trajtën:         ($\mathrm{\forall }$n $\in$ $\mathbb{N}$) F(n) $\wedge$ F(n+1) $\Rightarrow$ F(n+2). (4)        S h e m b u l l i  1. -  Të vërtetohet se shuma e kubeve të n numrave të njëpasnjëshëm natyralë: 1, 2, 3, ... , n është e barabartë me $[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$.

< 1055 faqe - 1056 - 1057 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1055 faqe - 1056 - 1057 >