Hipi Zhdripi i Matematikës/1175

- kur $z=\operatorname {const}$ , sipërfaqja koordinative është një plan normal në boshtin zenitor $0z$ ; - kur $\varphi =\operatorname {const}$ , sipërfaqja koordinative është një plan që kalon nëpër boshtin zenitor dhe - kur $r=\operatorname {const}$ , sipërfaqja koordinative është një sipërfaqe cilindrike rrethore me boshtin $0z$ . Verifikoni këto pohime! Përcaktoni sipërfaqen koordinative nëse: (1) $z=0$ ; (2) $\varphi =0$ ; (3) $r=1$ . Le të ndërtojmë tani sistemin kartezian $0xyz$ ndaj sistemit polaro-cilindrik ashtu që të përputhen: plani koordinativ $x0y$ me planin ekuatorial $\varepsilon$ , boshti i abshisave me boshtin polar $0x$ dhe boshti i aplikatave me boshtin zenitor $0z$ (fig. 6.2.). Në këto kushte koordinatat karteziane $x,y,z$ të një pike çfarëdo $M$ shprehen nëpërmjet të koordinatave polaro-cilindrike $r,\varphi ,z$ me anën e këtyre formulave: $x=r\cos \varphi ,\ \ y=r\sin \varphi ,\ \ z=z$ , (...4) Nga këto formula del se me koordinata polaro-cilindrike vektori i pozitës ${\overrightarrow {0M}}$ shprehet në këtë mënyrë: ${\overrightarrow {0M}}=(r\cos \varphi ){\vec {i}}+(r\sin \varphi ){\vec {j}}+z{\vec {k}}$ . Nga barazitë (4) marrim këto formula $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\ \ \varphi =\operatorname {arc\ tg} {\frac {y}{x}},\ \ z=z$ , (...4a) ku koordinatat polaro-cilindrike të pikës $M$ shprehen me anën e koordinatave karteziane. S h e m b u l l i 2. - Të gjenden koordinatat polaro-cilindrike të pikës $M(1,{\sqrt {3}},5)$ . Z g j i d h j e : Duke zbatuar formulat (4a), marrim: $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2,\varphi =\operatorname {arc\ tg} {\frac {y}{x}}=\operatorname {arc\ tg} {\sqrt {3}}={\frac {\pi }{3}},z=5$ . 1.2.2. SISTEMI KOORDINATIV SFERIK Le të jetë $\mu _{1}$ , një plan i fiksuar të cilin po e quajmë meridiani i parë. Në këtë plan fiksohet pika $0$ dhe boshti $0z$ . Tani pozita e një pike të çfarëdoshme $M$ në hapësirë përcaktohet në këtë mënyrë: