- Relacioni binar ρ , i përkufizuar në këtë mënyrë, është relacion i ekuivalencës, sepse është
- (i) Refleksiv : (
x A) x ρ x, sepse çdo x ( A) i përket njërës klasë të ekuivalencës Ca, Cb, Cc,... ;
- (ii) Simetrik : Ngase kur x ρ y, atëherë edhe y ρ x, meqë kur elementet e dyshes (x, y) i përkasin njërës klasë Ca, Cb, Cc,... , asaj klase i përkasin edhe elementet e dyshes (y, x) ; dhe
- (iii) Transitiv : Nga se kur x ρ y dhe y ρ z, atëherë edhe x ρ z, meqë kur elementet e dysheve (x, y) dhe (y, z) i përkasin njërës klasë të ekuivalencës, asaj klase u përkasin edhe elementet e dyshes (x, z).
- Bashkësia e klasave të ekuivalencës ~ shënohet me
A/~ {Ca a A} (...28)
- dhe quhet faktor-bashkësi e bashkësisë A në lidhje me ekuivalencën
- S h e m b u l l i 13. - Në bashkësinë e zgjeruar të numrave, natyralë
0 (  {0}) është përkufizuar relacioni binar ρ me :
a ρ b a mq1+r b mq2 +r, ku 0 r<m
- i cili mund të shprehet edhe kështu :
a ρ b (a - b) m.
- Meqë:
- (1) (
a 0) a ρ a ose (a-a) m ;
- (2) (
a, b 0) a ρ b b ρ a ose (a - b) m (b - a) m ;
- (3) (
a, b, c 0) (a ρ b b ρ c) a ρ c ose (a - b) m (b - c) m (a - c) m,
- konkludojmë se ρ është relacion i ekuivalencës. Ky relacion quhet relacion i kongruencës sipas modulit m dhe shënohet me a
b (mod m).
- Me relacionin e kongruencës sipas modulit m bashkësia
0 zbërthehet në këto m klasa të ekuivalencës :
Cr {n n 0 n mq+r q 0 }, r 0,1,2,...,m-1
- ku secila klasë karakterizohet me vlerën e mbetjes r. Pra, klasën Cr e përbëjnë të gjithë numrat natyralë të cilët kur pjesëtohen me m japin mbetjen r, andaj Cr quhet edhe klasa e mbetjes r.
- Të konkludojmë : bashkësia
0 në lidhje me relacionin e kongruencës sipas modulit m zbërthehet në m klasa : në klasën e mbetjes 0, në klasën e mbetjes 1,... , në klasën e mbetjes m-1. Klasat C0 , C1, C2 ,..., Cm-1 ngandonjëherë shënohen me : (0), (1), (2),... , (m -1) .
- Për m
3 kemi këto tri klasa:
- (bl) C0
{n n 0 n 3q q 0 } ose C0 {0,3,6,9,...},
- (b2) C1
{n n 0 n 3q+1 q 0} ose C1 {1,4,7,10,...},
- (b3) C2
{n n 0 n 3q+2 q 0} ose C2 {2,5,8,11,...},
|