Hipi Zhdripi i Matematikës/1256

Në bazë të këtyre relacioneve dhe konditës $f(x)⩽g(x)⩽h(x)$, kur $x\in (a-\delta ,a+\delta )$, rezulton se $b-\epsilon <g(x)<b+\epsilon \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}|g(x)-b|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$. Kjo do të thotë se ekziston vlera kufitare e funksionit $g(x)$, kur $x$ tenton në $a$ dhe se $\underset{x\to a}{lim}g(x)=b$.        T e o r e m a  2.6.2. - Funksioni $y=f(x)$ është i kufizuar, kur $x\to a$, nëse $\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$, ku $b\in ℝ$.        V ë r t e t i m Nga hipoteza e teoremës rrjedh se për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, ekziston numri pozitiv korrespondues $\delta$ i tillë që $|f(x)-b|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$. Nga ky relacion del: $|f(x)|<|b|+\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$, çka do të thotë (sipas përkufizimit 2.5.2.) se funksioni $y=f(x)$ është i kufizuar, kur $x\to a$.        T e o r e m a  2.6.3. - Nëse në rrethinën e numrit $a$ funksioni $y=f(x)$ mund të shprehet si $f(x)=b+\alpha$, ku $b=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ dhe $lim\alpha =0$, atëherë $\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$ dhe anasjelltas, nëse $\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$, atëherë $f(x)=b+\alpha$, ku $\alpha$ është madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$.        V ë r t e t i m Nga hipoteza (supozimi) $f(x)=b+\alpha$, ku $\alpha \to 0$ rrjedh se në rrethinën e numrit $a:|f(x)-b|=|\alpha |$. Mirëpo, pasi për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, të gjitha vlerat (përveç eventualisht një numrit të fundëm të vlerave) e madhësisë pambarimisht e vogël $\alpha$ e kënaqin jobarazinë $|\alpha |<\epsilon$, prandaj $|f(x)-b|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$.         E anasjellta: Nga hipoteza $\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$ rrjedh se për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, në rrethinën $(a-\delta ,a+\delta )$ e numrit $a$ vlen relacioni $|f(x)-b|<\epsilon$. Kur shënojmë $y-b=\alpha$, përftohet $|\alpha |<\epsilon$, çka do të thotë se $\alpha$ është madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$.        P ë r k u f i z i m i  2.6.5. - Funksioni $y=f(x)$ quhet funksion pambarimisht i vogël (ose infinitezimal) në rrethinën e numrit $a$, nëse $\underset{x\to a}{lim}f(x)=0$.[1]         Dy funksione pambarimisht të vogla krahasohen në të njëjtën mënyrë, siç krahasohen edhe madhësitë infinitezimale (p. 1.5.).        S h e m b u l l i  24. -  Të njehsohet $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\cos x}{x}$        Z g j i d h j e : E pjesëtojmë jobarazinë e dyfishtë $-1⩽\cos x⩽1$ me $x(>0)$ $-\frac{1}{x}⩽\frac{\cos x}{x}⩽\frac{1}{x}$ nga marrim: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{1}{x})⩽\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\cos x}{x}⩽\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}$.

< 1255 faqe - 1256 - 1257 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1255 faqe - 1256 - 1257 >