Hipi Zhdripi i Matematikës/1256

Në bazë të këtyre relacioneve dhe konditës $f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$, kur $x\in (a-\delta ,a+\delta )$, rezulton se $b-\varepsilon <g(x)<b+\varepsilon \ \mathrm {ose} \ |g(x)-b|<\varepsilon \ \mathrm {kur} \ 0<|x-a|<\delta$. Kjo do të thotë se ekziston vlera kufitare e funksionit $g(x)$, kur $x$ tenton në $a$ dhe se $\lim _{x\to a}g(x)=b$.        T e o r e m a  2.6.2. - Funksioni $y=f(x)$ është i kufizuar, kur $x\rightarrow a$, nëse $\lim _{x\to a}f(x)=b$, ku $b\in \mathbb {R}$.        V ë r t e t i m Nga hipoteza e teoremës rrjedh se për çdo numër pozitiv $\varepsilon >0$, sado i vogël qoftë $\varepsilon$, ekziston numri pozitiv korrespondues $\delta$ i tillë që $|f(x)-b|<\varepsilon \ \mathrm {kur} \ 0<|x-a|<\delta$. Nga ky relacion del: $|f(x)|<|b|+\varepsilon \ \mathrm {kur} \ 0<|x-a|<\delta$, çka do të thotë (sipas përkufizimit 2.5.2.) se funksioni $y=f(x)$ është i kufizuar, kur $x\rightarrow a$.        T e o r e m a  2.6.3. - Nëse në rrethinën e numrit $a$ funksioni $y=f(x)$ mund të shprehet si $f(x)=b+\alpha$, ku $b=\mathrm {const}$ dhe $\lim \alpha =0$, atëherë $\lim _{x\to a}f(x)=b$ dhe anasjelltas, nëse $\lim _{x\to a}f(x)=b$, atëherë $f(x)=b+\alpha$, ku $\alpha$ është madhësi $\mathrm {pmv}$.        V ë r t e t i m Nga hipoteza (supozimi) $f(x)=b+\alpha$, ku $\alpha \rightarrow 0$ rrjedh se në rrethinën e numrit $a\!:|f(x)-b|=|\alpha |$. Mirëpo, pasi për çdo numër pozitiv $\varepsilon >0$, sado i vogël qoftë $\varepsilon$, të gjitha vlerat (përveç eventualisht një numrit të fundëm të vlerave) e madhësisë pambarimisht e vogël $\alpha$ e kënaqin jobarazinë $|\alpha |<\varepsilon$, prandaj $|f(x)-b|<\varepsilon \ \mathrm {kur} \ 0<|x-a|<\delta \ \mathrm {ose} \ \lim _{x\to a}f(x)=b$.         E anasjellta: Nga hipoteza $\lim _{x\to a}f(x)=b$ rrjedh se për çdo numër pozitiv $\varepsilon >0$, sado i vogël qoftë $\varepsilon$, në rrethinën $(a-\delta ,a+\delta )$ e numrit $a$ vlen relacioni $|f(x)-b|<\varepsilon$. Kur shënojmë $y-b=\alpha$, përftohet $|\alpha |<\varepsilon$, çka do të thotë se $\alpha$ është madhësi $\mathrm {pmv}$.        P ë r k u f i z i m i  2.6.5. - Funksioni $y=f(x)$ quhet funksion pambarimisht i vogël (ose infinitezimal) në rrethinën e numrit $a$, nëse $\lim _{x\to a}f(x)=0$.[1]         Dy funksione pambarimisht të vogla krahasohen në të njëjtën mënyrë, siç krahasohen edhe madhësitë infinitezimale (p. 1.5.).        S h e m b u l l i  24. -  Të njehsohet $\lim _{x\to \infty }{\frac {\cos x}{x}}$        Z g j i d h j e : E pjesëtojmë jobarazinë e dyfishtë $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$ me $x(>0)$ $-{\frac {1}{x}}\leqslant {\frac {\cos x}{x}}\leqslant {\frac {1}{x}}$ nga marrim: $\lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {1}{x}}\right)\leqslant \lim _{x\to \infty }{\frac {\cos x}{x}}\ \leqslant \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}$.

< 1255 faqe - 1256 - 1257 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1255 faqe - 1256 - 1257 >