Hipi Zhdripi i Matematikës/1059

Nga Wikibooks

2. NUMRAT E PLOTË Një ecuri në ndërtimin e bashkësive të reja numerike bazohet në mundësinë e zgjerimit të bashkësisë së dhënë. Kështu, bie fjala, nëse $A$ është bashkësia e dhënë, bashkësia e zgjeruar $B$ zakonisht ndërtohet ashtu që t'i plotësojë këto katër kushte: (1) $B A$ ; (2) Veprimet dhe relacionet e rëndësishme në bashkësinë $B$ të përkufizohen, ashtu që të përputhen me veprimet dhe relacionet homonome të përkufizuara që më parë në bashkësinë $A$ ; (3) Bashkësia $B$ të jetë e mbyllur lidhur me një veprim të caktuar binar $\circ$ , lidhur me të cilin veprim bashkësia $A$ nuk është e mbyllur; dhe (4) Bashkësia $B$ të jetë zgjerimi minimal i bashkësisë $A$ , respektivisht të mos ekzistojë ndonjë bashkësi tjetër $C$ e cila plotëson kushtet (1) - (3) dhe $B C A$ . Këto katër kushte quhen aksiomat e zgjerimit të bashkësive numerike. Në bazë të këtyre aksiomave bëjmë zgjerimin e bashkësive numerike $\scriptstyle \mathbb{N}$ dhe $\scriptstyle \mathbb{Z}$ . Vërtet, le të zgjerojmë bashkësinë e numrave natyralë $\scriptstyle \mathbb{N}$ deri në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb{Z}$ ashtu që: - në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb{Z}$ të jenë të përkufizuara veprimet binare mbledhja e shumëzimi dhe të jetë e përcaktuar relacioni binar $>$ (është më i madh), sikurse në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb{N}$ ; dhe - bashkësia $\scriptstyle \mathbb{Z}$ lidhur me veprimin e zbritjes të jetë e mbyllur. Këtë bashkësi $\scriptstyle \mathbb{Z}$ e quajmë bashkësi e numrave të plotë, respektivisht themi: P ë r k u f i z i m i 2. 1. - Bashkësia numerike $\scriptstyle \mathbb{Z}$ quhet bashkësi e numrave të plotë, nëse ajo i plotëson kushtet që vijojnë: (1) $\scriptstyle \mathbb{Z}$ ; (2) $\scriptstyle \mathbb{Z}$ është bashkësi e renditur; (3) $\scriptstyle \mathbb{Z}$ është unazë; dhe (4) Bashkësia $\scriptstyle \mathbb{Z}$ është zgjerimi minimal i bashkësisë $\scriptstyle \mathbb{N}$ Në bashkësinë e numrave të plotë $\scriptstyle \mathbb{Z}$ : (a₁) Vlen formula: $\scriptstyle{ \forall }$ , (a2) Numrat $a, a+1$ , ku $\scriptstyle \in$ , quhen numra të njëpasnjëshëm të plotë; dhe (a₃) Nuk ekziston as numri më i vogël as numri më i madh i plotë. 3. NUMRAT RACIONALË Le të zgjerojmë tani bashkësinë e numrave të plotë $\scriptstyle \mathbb{Z}$ deri në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb{Q}$ në mënyrë që: - në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb{Q}$ të jenë të përkufizuara veprimet binare mbledhja, zbritja e shumëzimi dhe të jetë i përcaktuar relacioni binar $>$ , sikurse në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb{Z}$ ; dhe - bashkësia $\scriptstyle \mathbb{Q}$ lidhur me veprimin e pjesëtimit të jetë e mbyllur.