Hipi Zhdripi i Matematikës/1033

Nga Wikibooks

sitë e pafundme ekuipotente i kanë numrat kardinalë ^[1] të barabartë : d.m .th. :

$\scriptstyle { \Rightarrow }$ (...36)

P.sh. : (1) $\scriptstyle \mathbb{N}$ ; (2) $\scriptstyle {\mathbb{N}_{p} }$

Numri kardinal i bashkësisë së numrave natyralë $\scriptstyle \mathbb{N}$ shënohet $\scriptstyle \mathbb{N}$ , ( lexo : alef zero), ndërsa i bashkësisë së numrave realë $\scriptstyle \mathbb{R}$ shënohet $\scriptstyle \mathbb{R}$ dhe thuhet se bashkësia $\scriptstyle \mathbb{R}$ ka fuqinë e kontinuumit.

P ë r k u f i z i m i 4.1.3. - Bashkësitë që janë ekuipotente me bashkësinë e numrave natyralë $\scriptstyle \mathbb{N}$ quhen bashkësi të numërueshme.

Kështu, për shembull, bashkësia e numrave te plotë $\scriptstyle \mathbb{Z}$ dhe bashkësia e numrave racionalë $\scriptstyle \mathbb{Q}$ janë bashkësi të numërueshme (sepse : $\scriptstyle \mathbb{Z}$ dhe $\scriptstyle \mathbb{Q}$ ), ndërkaq bashkësia e numrave realë $\scriptstyle \mathbb{R}$ nuk është bashkësi e numërueshme.

PASQYRIMI (FUNKSIONI) INVERS

Pasqarimin $f : A\toB$ e bashkësisë $A$ në bashkësinë $B$ zakonisht e shprehim me formulën $\scriptstyle{=}$ . Mirëpo, nëse dëshirojmë që bashkësinë $B$ ta pasqyrojmë në bashkësinë $A$ , në pajtim me përkufizimin 4.1.1., shtrohet çështja e ekzistimit të një pasqyrimi të këtillë dhe shfaqet problemi i mundësisë që nga funksioni i dhënë $f$ të formohet një funksion tjetër $g$ , i tillë që secilit $\scriptstyle \in$ t'i shogërojë pikërisht një transformat $\scriptstyle \in$ , pra të vlejë : $\scriptstyle{=}$ . Ky funksion $\scriptstyle{=}$ , nëse ekziston, quhet funksion invers i funksionit $\scriptstyle{=}$ . Kuptohet pasqyrimi $y : B\toA$ do të ekzistojë, nëse vlen :

$\scriptstyle{ \forall }$ . (...37)

D.m.th. për funksionin $\scriptstyle{=}$ ekziston funksioni invërs $\scriptstyle{=}$ , atëherë dhe vetëm atëherë, kur $f$ është pasqyrim bijektiv. Në këtë rast pasqyrimet (funksionet) $f$ dhe $g$ quhen reciprokisht inverse. Pasqyrimi invers i pasqyrimit $f$ zakonisht shënohet me $f -1$ .

Andaj, për pasqyrimin bijektiv $f$ ndërmjet bashkësive $A, B$ vlen :

$\scriptstyle{=}$ (...38)

Fig. 1.15.

ku nëse $\scriptstyle { \neq }$ , atëherë $\scriptstyle { \neq }$ dhe e anasjellta (fig. 1.15.).

Meqë kushti i ekzistimit të funksionit invers $f -1$ për funksionin e dhënë $f$ është që $f$ të jetë një korrespondencë biunivoke ndërmjet bashkësive $A$ , $B$ , andaj konkludojmë:

(1) Domeni i $f -1$ është kodomen i $f$ , kodomeni i , $f -1$ është domeni i $f$ ,