Hipi Zhdripi i Matematikës/1026

Nga Wikibooks

Relacioni i ekuivalencës ~ i përkufizuar në bashkësinë $A$ e zbërthen atë në nënbashkësi që quhen klaset e ekuivalencës. Kështu, nëse $\scriptstyle \in$ , atëhetë elementet e bashkësisë $A$ që janë ekuivalent me elementin $a$ (d.m.th. $\scriptstyle{ \forall }$ formojnë nënbashkësinë $\scriptstyle{=}$ (...27) e cila quhet klasa e ekuivalencës ~ me përfaqësuesin $a$ . Kur bashkësia A, lidhur me ekuivalencën ~, zbërthehet në klasa, atëherë: (a₁) Çdo element i bashkësisë $A$ i përket një klase ; (a₂) Asnjë element nuk u përket dy klasave të ndryshme ; dhe (a₃) Unioni i të gjitha klasave është i barabartë me bashkësinë $A$ . Pra konkludojmë se klasat e ekuivalencës janë disjunkte ndërmjet tyre. T e o r e m a 3.2.1. - Çdo ekuivalencë ~ në bashkësinë $A$ e përkufzon një zbërthim të $A$ -së në klasa të ekuivalencës dhe e anasjellta, çdo zbërthim të bashkësisë $A$ në klasa të ekuivalencës e përkufzon një relacion të ekuivalencës në bashkësinë $A$ . V ë r t e t i m : a) Le të supozojmë të kundërtën - se dy klasa të ndryshme $C a, C b$ nuk janë disjunkte : $\scriptstyle { \cap }$ . Atëherë del se : $\scriptstyle{ \exists }$ , nga marrim $\scriptstyle \land$ , meqë relacioni ~ është transitiv. Tani, në bazë të formulës së përftuar $a~b$ , mund të provojmë se $C a C b$ dhe $C b C a$ . Vërtet: (1) $\scriptstyle{ \forall }$ , andaj kemi: $\scriptstyle \land$ , çka, sipas përkufizimit 2.1.1., del se $C a C b$ ; (2) $\scriptstyle{ \forall }$ , andaj: $\scriptstyle \land$ , d.m.th. $C b C a$ . Në fund, në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim : $C a C b C b C a C a C b$ . Pra, nga supozimi $\scriptstyle { \cap }$ del se klasat e ekuivalencës $C a, C b$ nuk janë të ndryshme $\scriptstyle{=}$ , andaj konkludojmë se pohimi i parë i teoremës është i saktë. b) Për të vërtetuar pohimin e anasjelltë supozojmë se $C a, C b, C c ...$ paraqet një zbërthim çfarëdo të bashkësisë $A$ në klasa të ekuivalencës ... Në bashkësinë $A$ e përkufizojmë relacionin binar ρ në këtë mënyrë : Për elementet $\scriptstyle \in$ .