Hipi Zhdripi i Matematikës/1257

Mirëpo, pasi $\lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {1}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$, konkludojmë se $\lim _{x\to \infty }{\frac {\cos x}{x}}=0$ Fig. 7.17.        S h e m b u l l i  25. -  Të njehsohet $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$        Z g j i d h j e : Në rrethin trigonometrik (fig. 7.17.) harkun ${\overset {\frown }{AB}}$ e shënojmë me $x$, atëherë:         1 ° $S_{\triangle OAB}={\frac {OA\cdot CB}{2}}={\frac {\sin x}{2}}$         2 ° $S_{\triangle (OAB)}={\frac {r\cdot {\overset {\frown }{AB}}}{2}}={\frac {x}{2}}$. dhe         3° $S_{\triangle OAD}={\frac {OA\cdot AD}{2}}={\frac {\mathrm {tg} \ x}{2}}$         Duke krahasuar këto madhësi marrim $S_{\triangle OAB}<S_{\triangle (OAB)}<S_{\triangle OAD}$ ose ${\frac {\sin x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\mathrm {tg} \ x}{2}}$ nga del: $\sin x<x<\mathrm {tg} \ x\ \mathrm {ose} \ 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {x}{\cos x}}\ \mathrm {ose} \ \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$. Pasi $\lim _{x\to 0}\cos x=1$, në bazë të teoremës 2.6.1., konkludojmë se $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$.        S h e m b u l l i  26. -  Të njehsohet $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 3x}{x}}$        Z g j i d h j e : ${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 3x}{x}}&={\begin{vmatrix}\mathrm {Z{\ddot {e}}vend.} \ 3x=\alpha ;\\\mathrm {kur} \ x\rightarrow 0\Rightarrow \alpha \rightarrow 0\end{vmatrix}}=\lim _{x\to 0}3\cdot {\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=\\&=3\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=3\end{aligned}}$.        S h e m b u l l i  27. -  Të njehsohet $\lim _{x\to \infty }2x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$.        Z g j i d h j e : ${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }2x\!\cdot \!\sin {\frac {1}{x}}&\!=\!{\begin{vmatrix}\mathrm {Z{\ddot {e}}vend.} \ {\frac {1}{x}}\!=\!\alpha ;\\\mathrm {kur} \ x\rightarrow \!\infty \!\Rightarrow \!\alpha \!\rightarrow \!0\end{vmatrix}}\!=\!2\lim _{x\to 0}{\frac {1}{\alpha }}\!\cdot \!\sin \alpha =\\&=2\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=2.\end{aligned}}$

< 1256 faqe - 1257 - 1258 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

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