Hipi Zhdripi i Matematikës/1055

Nga Wikibooks

T e o r e m a 1.2. - Asnjë numër natyral nuk është më i vogël se njëshi.

Pra, meqë numri $1$ është numri më i vogël natyral, konkludojmë se vargu i numrave natyralë është i kufizuar nga e majta,

T e o r e m a (aksioma e Arkimedit) 1.3. - Për çdo dy numra natyralë $a$ , $b$ ku $a < b$ , ekziston numri natyral $n$ i tillë që $a • n > b$ .

Pra, mund të konkludojmë se nuk ekziston numri më i madh natyral ose se vargu i numrave natyralë nuk është i kufizuar nga ana e djathtë.

Për mbledhjen dhe shumëzimin e numrave natyralë vlejn këto ligje të rëndësishme:

(1) $\scriptstyle{ \forall }$	$\scriptstyle{=}$ ;
(2) $\scriptstyle{ \forall }$	$\scriptstyle{=}$ ;
(3) $\scriptstyle{ \forall }$	$\scriptstyle{=}$ ;
(4) $\scriptstyle{ \forall }$	$\scriptstyle \Leftrightarrow$ $\scriptstyle{=}$ $\scriptstyle \Leftrightarrow$ ;
(5) $\scriptstyle{ \forall }$	$\scriptstyle \Leftrightarrow$ $\scriptstyle{=}$ ;
(6) $\scriptstyle{ \forall }$	$\scriptstyle \land$ $\scriptstyle{=}$ $\scriptstyle \land$ ;
(7) $\scriptstyle{ \forall }$	$\scriptstyle \land$ $\scriptstyle{=}$ ^[1]

Bashkësia e numrave natyralë $\scriptstyle \mathbb{N}$ lidhur me veprimin invers të mbledhjes zbritjen -, përkatësisht lidhur me veprimin invers të shumëzimit - pjesëtimin - nuk është e mbyllur. Shi për këtë thuhet:

- Ndryshimi $a$ - $b$ i dy numrave natyralë $\scriptstyle \in$ ekziston atëherë dhe vetëm atëherë, kur $a > b$ ; dhe

- Herësi $a:b$ i dy numrave natyralë $\scriptstyle \in$ ekziston atëherë dhe vetëm atëherë, kur $a: b$ (ose $\scriptstyle{=}$ .

Për të bërë zbritjen, përkatësisht pjesëtimin veprim të brendshëm në bashkësinë numerike, duhet të zgjerohet bashkësia $\scriptstyle \mathbb{N}$ .

Në konceptin e plotpjesëtueshmërisë së numrave bazohet klasifikimi i numrave natyralë në numra primë (të thjeshtë), numra të përbërë, numra çiftë (parë) dhe numra tekë (cupë).

P ë r k u f i z i m i 1.5. - Numër prim quhet numri natyral më i madh se $1$ që plotpjesëtohet me vetvetën dhe me numrin $1$ . Numri natyral më i madh se $1$ që nuk është prim, quhet numër i përbërë.