- Relacioni binar ρ , i përkufizuar në këtë mënyrë, është relacion i ekuivalencës, sepse është
- (i) Refleksiv : (
 x A) x ρ x, sepse çdo x (A) i përket njërës klasë të ekuivalencës Ca, Cb, Cc,... ;
- (ii) Simetrik : Ngase kur x ρ y, atëherë edhe y ρ x, meqë kur elementet e dyshes (x, y) i përkasin njërës klasë Ca, Cb, Cc,... , asaj klase i përkasin edhe elementet e dyshes (y, x) ; dhe
- (iii) Transitiv : Nga se kur x ρ y dhe y ρ z, atëherë edhe x ρ z, meqë kur elementet e dysheve (x, y) dhe (y, z) i përkasin njërës klasë të ekuivalencës, asaj klase u përkasin edhe elementet e dyshes (x, z).
- Bashkësia e klasave të ekuivalencës ~ shënohet me
A/~  {Ca aA} (...28)
- dhe quhet faktor-bashkësi e bashkësisë A në lidhje me ekuivalencën
- S h e m b u l l i 13. - Në bashkësinë e zgjeruar të numrave, natyralë
 0 ( {0}) është përkufizuar relacioni binar ρ me :
a ρ b amq1+r bmq2 +r, ku 0 r<m
- i cili mund të shprehet edhe kështu :
a ρ b(a - b) m.
- Meqë:
- (1) (a0) a ρ a ose (a-a)m ;
- (2) (a, b0) a ρ b
 b ρ a ose (a - b) m (b - a) m ;
- (3) (a, b, c0) (a ρ b b ρ c)a ρ c ose (a - b) m (b - c) m(a - c) m,
- konkludojmë se ρ është relacion i ekuivalencës. Ky relacion quhet relacion i kongruencës sipas modulit m dhe shënohet me a
 b (mod m).
- Me relacionin e kongruencës sipas modulit m bashkësia 0 zbërthehet në këto m klasa të ekuivalencës :
Cr{nn0 nmq+rq0 }, r0,1,2,...,m-1
- ku secila klasë karakterizohet me vlerën e mbetjes r. Pra, klasën Cr e përbëjnë të gjithë numrat natyralë të cilët kur pjesëtohen me m japin mbetjen r, andaj Cr quhet edhe klasa e mbetjes r.
- Të konkludojmë : bashkësia 0 në lidhje me relacionin e kongruencës sipas modulit m zbërthehet në m klasa : në klasën e mbetjes 0, në klasën e mbetjes 1,... , në klasën e mbetjes m-1. Klasat C0 , C1, C2 ,..., Cm-1 ngandonjëherë shënohen me : (0), (1), (2),... , (m -1) .
- Për m 3 kemi këto tri klasa:
- (bl) C0{nn0n3qq0 } ose C0{0,3,6,9,...},
- (b2) C1{nn0n3q+1q0} ose C1{1,4,7,10,...},
- (b3) C2{nn0n3q+2q0} ose C2{2,5,8,11,...},
|
