Hipi Zhdripi i Matematikës/1038

Nga Wikibooks

P ë r k u f i z i m i 5.1.5. - Grupoidi $(A, o)$ quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar $\circ$ është asociativ. P.sh. : $\scriptstyle \mathbb{N}$ ku $\scriptstyle{=}$ janë semigrupe. P ë r k u f i z i m i 5.1.6. - Elementi $\scriptstyle \in$ quhet element neutral për veprimin $\circ$ në bashkësinë A, nëse vlen : $\scriptstyle{ \forall }$ (...49) Elementi neutral $e$ quhet edhe element njësi. Në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb{R}$ elementi neutral për mbledhjen është $0$ (zero), ndërkaq për shumëzimin është $1$ . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët $\scriptstyle { \varnothing }$ . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik $\scriptstyle{=}$ . Grupoidi $\scriptstyle \mathbb{N}$ nuk ka elementin neutral. T e o r e m a 5.1.1. - Nëse grupoidi $\circ$* përmban elementin neutral, ai është i vetmi.* V ë r t e t i m Le të supozojmë të kundërtën - se në $\circ$ ekzistojnë dy elemente neutrale $\scriptstyle { \neq }$ për veprimin binar $\circ$ . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari $e$ me $e 1$ , $a$ me $e 2$ dhe së dyti $e$ me $e 2$ , $a$ me $e l$ përftojmë : $\circ$ dhe $\circ$ , prej kah rezulton se $\scriptstyle{=}$ . Pra, konkludojmë se grupoidi $\circ$ nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin $o$ . P ë r k u f i z i m i 5.1.7. - Kur semigrupi $\circ$ përmban elementin neutral $e$ , elementi $\scriptstyle \in$ quhet element invers i elementit $\scriptstyle \in$ në lidhje me veprimin $\circ$ , nëse vlen : $\circ$ . (...50) P.sh., Elementi invers i elementit $a$ rëndom shënohet me $a -1$ . P.sh., në semigrupin $\scriptstyle \mathbb{Z}$ me elementin neutral $0$ , për cilindo element $\scriptstyle \in$ elementi invers është numri i kundërt $\scriptstyle \in$ , ndërkaq në semigrupin $\scriptstyle \mathbb{Z}$ , përveç elementeve $-1$ dhe $1$ , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin $\scriptstyle \mathbb{Q}$ me elementin neutral $1$ , për cilindo element $\scriptstyle \in$ , elementi invers është numri reciprok $\textstyle \mathrm \frac 1 a$ . T e o r e m a 5.1.2. - Nëse semigrupi $\circ$* për elementin $\scriptstyle \in$ përmban elementin invers $\scriptstyle \in$ , ai është i vetmi.* V ë r t e t i m : Le të supozojmë të kundërtën - se $b 1, b 2$ janë dy elemente inverse të elementit $\scriptstyle \in$ . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari $b$ me $b 1$ , së dyti $b$ me $b 2$ përftojmë : $\circ$ dhe $\circ$ . Meqë $\circ$ dhe veprimi $\circ$ është asociativ, kemi: $\circ$ dhe $\circ$ d.m.th. se $\scriptstyle{=}$ , çka duhej vërtetuar.