Hipi Zhdripi i Matematikës/1045

Nga Wikibooks

7. UNAZA, TRUPI DHE FUSHA Krahas me grupin, tri struktura tjera të rëndësishme të matematikës bashkëkohore janë: unaza, trupi dhe fusha. P ë r k u f i z i m i 7.1. - Unazë quhet bashkësia jo e zbrazët $A$ në të. cilën janë të përkufizuara dy veprime binare $\oplus$ , $\odot$ , të quajtura mbledhje dhe shumëzim, ku: (1) $\oplus$ është grup abelian, (2) $\odot$ është grupoid; dhe (3) shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes. Unaza shënohet me simbolin $\oplus$ . Kur ky përkufizim zbërthehet, del se bashkësia jo e zbrazët $A$ lidhur me veprimet binare $\oplus$ quhet unazë, nëse plotësohen këto shtatë kushte: {c₁) $\scriptstyle{ \forall }$ ; (c₂) $\scriptstyle{ \forall }$ ; {c₃) $\scriptstyle{ \forall }$ ; (c₄) $\scriptstyle{ \exists ! }$ ; (c₅) $\scriptstyle{ \forall }$ ; (c₆) $\scriptstyle{ \forall }$ ; dhe (c₇) $\scriptstyle{ \forall }$ , $\oplus$ . Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të unazës. Siç shihet unaza $\oplus$ lidhur me mbledhjen është grup aditiv abelian, ndërkaq lidhur me shumëzimin grupoid multiplikativ, ku njëherazi shumëzimi është distributiv (nga e majta dhe nga e djathta) ndaj mbledhjes. Unaza $\oplus$ quhet asociative, nëse shumëzimi është asociativ: $\odot$ , ndërsa quhet komutative, nëse shumëzimi është komutativ: $\odot$ . Kur shumëzimi $\odot$ është asociativ dhe komutativ, $\oplus$ quhet unazë asociative-komutative. P.sh.: $\scriptstyle \mathbb{Z}$ dhe $\scriptstyle \mathbb{R}$ janë unaza asociative-komutative, ndërsa $\scriptstyle \mathbb{N}$ nuk është unazë. S h e m b u l l i 24. - Të tregohet se bashkësia $\scriptstyle{=}$ në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin sipas modulit $6$ është unazë asociative-komutative. Z g j i d h j e : Meqenëse plotësohen kushtet: (1) $(A, + 6)$ është grup aditiv, (2) $(A, . 6)$ është semigrup, (3) Shumëzimi sipas modulit 6 është veprim distributiv ndaj mbledhjes sipas modulit $6$ , dhe (4) Shumëzimi sipas modulit $6$ është komutativ, andaj konkludojmë se $(A, + 6,. 6)$ është unazë asociative-komutative.