Hipi Zhdripi i Matematikës/1037

Nga Wikibooks

dhe $b$ . Mirëpo, në pjesë të ndryshme të matematikës shfrytëzohen edhe simbole të posaçme për veprime të caktuara binare. Meqë për veprimin e përkufizuar binar $\circ$ në bashkësinë $A$ vlen : $\scriptstyle{ \forall }$ (...45) thuhet se $\circ$ është veprim i brendshëm (ligj intern) në bashkësinë $A$ ose se bashkësia $A$ është e mbyllur lidhur me veprimin $\circ$ . 5.1 . LIGJET E VEPRIMIEVE BINARE Ligjet themelore të veprimeve binare janë ligji komutativ, ligji asociativ dhe ligji distributiv . P ë r k u f i z i m i 5.1.1. - Veprimi binar $\circ$ në bashkësinë $A$ quhet komutativ, nëse vlen : $\scriptstyle{ \forall }$ (...46) Pra, në veprimet binare komutative rezultati i veprimit nuk varet prej rendit të elementeve, meqë „ $a$ në veprim $\circ$ me $b$ " dhe „ $b$ në veprim $\circ$ me $a$ " japin elementin e njëjtë $\scriptstyle \in$ . Kështu, për shembull, veprime binare komutative janë : mbledhja dhe shumëzimi i numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, mbledhja e vektorëve etj., ndërkaq veprime jokumutative janë: prodhimi kartezian i bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve, prodhimi i matricave, prodhimi vektorial i vektorëve etj. P ë r k u f i z i m i 5.1.2. - Veprimi binar $\circ$ në bashkësinë $A$ është asociativ, nëse vlen: $\scriptstyle{ \forall }$ . (...47) Pra, te veprimet binare asociative rezultati i veprimit nuk varet prej mënyrës së vendosjes së kllapave (të cilat përcaktojnë rendin e kryerjes së veprimevet), nëse ruhet rendi i elementeve. Për shembull, veprime asociative janë : mbledhja dhe zbritja e numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve (funksioneve) etj . Veprime joasociative janë : prodhimi kartezian i bashkësive, prodhimi vektorial i vektorëve etj . P ë r k u f i z i m i 5.1.3. - Në bashkësinë $A$ janë të përkufizuara dy veprime binare $\circ$ dhe $$ . Veprimi $\circ$ është distributiv ndaj veprimit $$ , nëse vlen : $\scriptstyle{ \forall }$ . (...48) Në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb{R}$ , për shembull, shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes: $\scriptstyle{=}$ , ndërkaq mbledhja nuk është distributiv ndaj shumëzimit : $\scriptstyle { \neq }$ . Unioni dhe prerja e bashkësive janë dy veprime reciprokisht distributive ndaj njëri-tjetrit. P ë r k u f i z i m i 5.1.4. - Bashkësia jo e zbrazët $A$ në të cilën është i përkufizuar veprimi binar $o$ quhet grupoid lidhur me atë veprim dhe shënohet me $(A, o)$ . Për shembull : $\scriptstyle \mathbb{N}$ ku $\scriptstyle{=}$ janë grupoide, ndërkaq: $\scriptstyle {\mathbb{N}_{c} }$ ku $\scriptstyle{=}$ nuk janë grupoide.