Hipi Zhdripi i Matematikës/1039

Nga Wikibooks

6. KUPTIMI I GRUPIT DHE I NËNGRUPIT

Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

P ë r k u f i z i m i 6.1. - Semigrupi $\circ$ që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element $\scriptstyle \in$ ekziston elementi invers $\scriptstyle \in$ .

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët $A$ lidhur me veprimin binar $\circ$ është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a₁ ) Bashkësia $A$ është e mbyllur lidhur me veprimin binar $\circ$ , pra:

$\scriptstyle{ \forall }$ ;

(a₂ ) Veprimi binar $\circ$ është asociativ, pra :

$\scriptstyle{ \forall }$ ;

(a₃ ) Në bashkësinë $A$ ekziston elementi neutral për veprimin binar $\circ$ , pra :

$\scriptstyle{ \exists ! }$ ; dhe

(a₄ ) Për secilin element $\scriptstyle \in$ ekziston elementi invers $\scriptstyle \in$ ashtu që :

$\circ$ .

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

Nëse veprimi binar $\circ$ është komutativ, $\circ$ quhet grup komutativ ose abelian^[1]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, $(A, +)$ , respektivisht $(A, .)$ quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : $\scriptstyle \mathbb{Q}$ , ndërkaq grupe multiplikative janë : $\scriptstyle \mathbb{Q}$ ku $\scriptstyle{=}$ } . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

S h e m b u l l i 19. - - Të tregohet se bashkësia $\scriptstyle{=}$ } në lidhje me mbledhjen sipas $modulit 5$ është grup aditiv $(A, + )$ , kurse bashkësia $\scriptstyle{=}$ } në lidhje me shumëzimin, sipas $modulit 7$ , është grup multiplikativ $(B, - 7)$ .

Z g j i d h j e : : Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas $modulit 5$ , respektivisht $7$ duket kështu:

$+ 5$	$0 1 2 3 4$	$+ 7$	$1 2 3 4 5 6$

$0$	$0 1 2 3 4$	$1$	$1 2 3 4 5 6$
$1$	$1 2 3 4 0$	$2$	$2 3 4 5 6 1$
$2$	$2 3 4 0 1$	$3$	$3 4 5 6 1 2$
$3$	$3 4 0 1 2$	$4$	$4 5 6 1 2 3$
$4$	$4 0 1 2 3$	$5$	$5 6 1 2 3 4$
		$6$	$6 1 2 3 4 5$