Hipi Zhdripi i Matematikës/1041

Nga Wikibooks

Elementi i tillë $a$ quhet përlindëse e grupit $\circ$ . S h e m b u l l i 21 - Grupi $(A, •)$ , ku $\scriptstyle{=}$ është grup ciklik me dy përlindëse: $\textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}$ dhe $\textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}$ .Vërtet: $\Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{2}= \textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} , \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{3}= 1, \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{4} = \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}},$ etj. Prej aksiomave (a₁) - (a₄) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit: V e t i a 1.-Nëse në grupin $\circ$ është element invers i elementit $a$ , edhe elementi $a$ është invers për elementin $a -1$ , d.m.th. $\scriptstyle{=}$ . Kjo veti për grupin aditiv $\oplus$ ka këtë trajtë: $\scriptstyle{=}$ . V e t i a 2.- Në grupin $\circ$ secili barazim (1) $\circ$ ,2) $\circ$ ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën . $\scriptstyle{=}$ , kurse për barazimin (2) trajtën $\scriptstyle{=}$ . Për grupin aditiv abelian {{mate\|(A, $\oplus$ ) barazimet $\oplus$ dhe $\oplus$ kanë një zgjidhje të përbashkët: $\scriptstyle{=}$ . V e t i a 3.- Në grupin $\circ$ vlejnë këto implikacione: $\circ$ , $\circ$ . Në grupin aditiv abelian $\oplus$ vlen implikacioni $\oplus$ . V e t i a 4.- Në secilin grup $\oplus$ vlen barazia: $\circ$ . Në grupin aditiv abelian $\oplus$ kjo veti shprehet me formulën: $\oplus$ . Le të jetë $\circ$ grup. P ë r k u f i z i m i 6.3. - Nënbashkësia jo e zbrazët $A 1$ bashkësisë $A$ quhet nëngrup i grupit $\circ$ në qoftë se A₁ është grup lidhur me veprimin e përkufizuar $\circ$ në $A$ dhe shënohet $\circ$ . Secili grup $\circ$ përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin $\circ$ dhe nëngrupin $\circ$ , ku $e$ është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit $\circ$ . Nëse grupi $\circ$ përmban edhe nëngrupe tjera $\scriptstyle{=}$ , ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit $\circ$ dhe shënohen $\circ$ .