- metrike ose në përgjithësi me përcaktimin e raporteve ndërmjet objekteve të ndryshme gjeometrike, etj. Kështu themi se ekuacioni x2-5
 0 nuk ka zgjidhje në bashkësinë  , diagonalja dhe brinja e katrorit janë dy segmente të pabashkëmatshme (inkomensurabile) (d a  ), raporti ndërmjet perimetrit dhe diametrit të rrethit është i barabartë me numrin  ( 3,1415927 ...), log 7 0,84510 ... , sin 15°0,25882 ... , etj. Numrat:
 , , , log 7, sin 15°
- quhen numra iracionalë. Prandaj themi:
- P ë r k u f i z i m i 4.1. - Numër iracional quhet çdo thyesë dhjetore e pafundme jo periodike e formës
rp0,p1p2... pn...,(  i   ) pi {0, 1, 2,..., 9}
|
|
- ku numri p0 quhet pjesa e plotë e numri 0, p1 p2 ... pn ... pjesa dhjetore e numrit iracional r.
- Lidhur me këtë përkufizim mund të themi se edhe çdo numër i formës
![\scriptstyle \mathrm {\sqrt[\mathrm {n}]{\mathrm{a}}}](http://upload.wikimedia.org/math/5/4/b/54badee183ee3e4184fe725d02d4f83a.png) , ku a , n
- është numër iracional, nëse (b ) bn
 a. Këta numra iracionalë quhen numra iracionalë algjebrikë, ndërsa numrat iracionalë që nuk janë algjebrikë quhen numra transcendentë. P.sh. numra transcendentë janë:
,  (2,7182818 ...), log 7, sin 15°, 2 , etj.
- Bashkësinë e numrave iracionalë i emërtojmë me
 . Unioni i bashkësisë së numrave racionalë me bashkësinë e numrave iracionalë formon bashkësinë e tumrave realë  :
- Pra, bashkësinë e numrave realë e përmbajnë të gjithë numrat racionalë dhe thyesat dhjetore të pafundme joperiodike, andaj numrat racionalë dhe numrat iracionalë me një emër të përbashkët quhen numra realë.
- Bashkësia e numrave realë është e pafundme, e renditur, kudo e dendur, në të vlen ligji i trihotomisë dhe për mbledhjen dhe shumëzimin e numrave realë vlejnë ligjet (1)-(7) e shprehura në p. 1. (fq. 55), ku në ligjet (5) dhe (7) duhet shtuar kushtin plotësues c>0, meqë për c<0 këto ligje marrin këtë trajtë:
-
|
(5a) (a, b, c, c<0) |
a>b a c<b c
aba cb c
ab c; |
-
|
(7a) (a, c, d, c<0) |
a>b c>d  a c<b d
abcda cb d
a<bc<da c>b d. |
- Ndërmjet elementeve të bashkësisë së numrave realë dhe pikave të boshtit numerik x' x mund të vendoset korrespondenca biunivoke që shprehet me këtë aksiomë:
|
