Hipi Zhdripi i Matematikës/1044

(2) (a', b' B) h2 (a'2 b')

h2(a')3 h2 (b') h2 [h1(a)] 3 h2 [h1 (b)] (h2 h1) (a) 3 (h2 h1) (b).

       Duke shfrytëzuar këto formula marrim:

(a, b A) (h2 h1) (a 1 b)

h2 [h1 (a 1 b)] h2 [h1 (a)2 h1 (b)] h2 [h1 (a) 3 h2 h1 (b)] (h2 h 1) (a) 3 (h2 h1) (b)

dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.

       Homomorfizmi injektiv i grupit (A, ) në grupin (B, * ) quhet izomorfizëm i (A, ) në (B, * ) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A, ) mbi (B, * ) quhet izomorfizëm i (A, ) mbi (B, * ) dhe thuhet se grupet (A, ) , (B, * ) janë izomorfe ndërmjet tyre.

       Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.

Fig. 1.20.

       T e o r e m a  6.1.2. -  Nëse i₁ është izomorfizëm i grupit (A, ₁) mbi grupin (B, ₂) dhe i₂ izomorfizëm i (B, ₂) mbi (C, ₃) , shumëzimi i₂ i₁ është izomorfizëm i grupit (A, ₁) mbi grupin (C, ₃) .

       Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !

       S h e m b u l l i  23. -  Të shohim grupet (+, .), (, +) dhe h:+→ pasqyrimin e + në që përcaktohet me formulën:

h:x→y log x, x⁺ .

       Meqë vlen:

(x₁, x₂ ⁺) log (x₁ • x₂) log x₁ +log x₂ ,

themi se (R⁺,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.

Ëig. 1.19.