Hipi Zhdripi i Matematikës/1056

Nga Wikibooks

P ë r k u f i z i m i 1.6. - Numër çift quhet numri natyral që plotpjesëtohet me $2$ . Numri natyral që nuk është çift, quhet numër tek.

Me $2n$ , respektivisht $\scriptstyle \pm$ , ku $\scriptstyle \in$ , shënohet cilido numër çift, përkatësisht tek.

V ë r e j t j e: Në aksiomën 1.4. bazohet ligjshmëria e vërtetimit induktiv të pohimeve (teoremave) që në matematikë përmendet me emrin metoda e induksionit të plotë matematikor. Kjo metodë shprehet në këtë mënyrë:

Le të jetë $F (n)$ një pohim (funksion gjykimesh) i përkufizuar në bashkësinë e numrave natyralë $\scriptstyle \mathbb{N}$ . Për të vërtetuar se:

$\scriptstyle{ \forall }$

(1)

është gjykim i saktë, bëhen këto dy vërtetime:

(a) Së pari vërtetohet se:

$F (1)$ është gjykim i saktë,

(2)

i cili quhet baza e induksionit, dhe

(b) Së dyti vërtetohet se

$\scriptstyle{ \forall }$ ,

(3)

i cili quhet hapi i induksionit.

Pastaj konkludohet se nga formulat (2) dhe (3) rrjedh formula (1).

Vërtet, nëse e marrim se $\scriptstyle \in$ është një numër çfarëdo natyral, atëherë për të vërtetuar se $F(m)$ është gjykim i saktë, veprojmë kështu:

Për $\scriptstyle{=}$ konstatojmë se $F(1)$ është i saktë, ndërkaq për $m>1$ formojmë një sërë implikacionesh të trajtës (3) për vlerat e numrit $m$ prej $1$ deri në $m-1$ , pra:

$\scriptstyle { \Rightarrow }$ $\scriptstyle { \Rightarrow }$ $\vdots$ $\scriptstyle { \Rightarrow }$ .

Tani arsyetojmë: Meqë $F(1)$ është i saktë, edhe $F(2)$ është i saktë; meqë $F(2)$ është i saktë, edhe $F(3)$ është i saktë; ...; meqë $F(m-1)$ është i saktë, edhe $F(m)$ është i saktë; çka do të thotë se

$\scriptstyle{ \forall }$ .

Ngadonjëherë për vërtetimin e pohimit të formës $\scriptstyle{ \forall }$ aplikohet induksioni me bazën e dyfishtë $\scriptstyle \land$ dhe me hapin e induksionit në trajtën:

$\scriptstyle{ \forall }$

(4)

S h e m b u l l i 1. - Të vërtetohet se shuma e kubeve të $n$ numrave të njëpasnjëshëm natyralë: $1, 2, 3, ... , n$ është e barabartë me $\Big[ \textstyle {\frac{n(n+1)}{2} } \Big]^{2}$ .