Algoritmi i Gaussit: Dallime mes rishikimesh
Rreshti 63: | Rreshti 63: | ||
i cili quhet <i>sistemi trekëndor</i> dhe është ekuivalent me sistemin (34). Zgjidhja e sistemit të fundit mund të reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit linear me një të panjohur. Vërtet, kur vlerën e panjohurës <math>x_n</math>, të njehsuar nga ekuacioni i fundit, e zëvendësojmë në atë të parafundit, marrim ekuacionin linear me të panjohurën <math>x_{n-1}</math>. Kur vlerat e njehsuara të <math>x_n</math> dhe <math>x_{n-1}</math> i zëvendësojmë në ekuacionin e tretë nga fundi, përsëri marrim ekuacionin linear me një të panjohur - me të panjohurën <math>x_{n-2}</math>. Ky proces vazhdohet derisa edhe ekuacioni i parë i sistemit (34a) nuk reduktohet në një ekuacion me një të panjohur, nga njehsohet vlera e të panjohurës <math>x_1</math>. Pra, kjo metodë e zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve lineare quhet algoritmi i <i>Gaussit</i>. |
i cili quhet <i>sistemi trekëndor</i> dhe është ekuivalent me sistemin (34). Zgjidhja e sistemit të fundit mund të reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit linear me një të panjohur. Vërtet, kur vlerën e panjohurës <math>x_n</math>, të njehsuar nga ekuacioni i fundit, e zëvendësojmë në atë të parafundit, marrim ekuacionin linear me të panjohurën <math>x_{n-1}</math>. Kur vlerat e njehsuara të <math>x_n</math> dhe <math>x_{n-1}</math> i zëvendësojmë në ekuacionin e tretë nga fundi, përsëri marrim ekuacionin linear me një të panjohur - me të panjohurën <math>x_{n-2}</math>. Ky proces vazhdohet derisa edhe ekuacioni i parë i sistemit (34a) nuk reduktohet në një ekuacion me një të panjohur, nga njehsohet vlera e të panjohurës <math>x_1</math>. Pra, kjo metodë e zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve lineare quhet algoritmi i <i>Gaussit</i>. |
||
==Shembuj== |
==Shembuj== |
||
\\ |
|||
Me algoritmin e <i>Gaussit</i> të zgjidhet sistemi: |
|||
<center><math>\begin{matrix} |
|||
\ x_1 &+& 2 x_2 &-& 3 x_3 &+& 4 x_4 &-& \ x_5 & =\! -1 \\ |
|||
2 x_1 &-& \ x_2 &+& 3 x_3 &-& 4 x_4 &+& 2 x_5 & =\ 8 \ \\ |
|||
3 x_1 &+& \ x_2 &-& \ x_3 &+& 2 x_4 &-& \ x_5 & =\ 3 \ \\ |
|||
4 x_1 &+& 3 x_2 &+& 4 x_3 &+& 2 x_4 &+& 2 x_5 & =\! -2 \\ |
|||
\ x_1 &-& \ x_2 &-& \ x_3 &+& 2 x_4 &-& 3 x_5 & =\! -3 \\ |
|||
\end{matrix}</math></center> |
\end{matrix}</math></center> |
||
uacionet]] |
|||
<u>Z g j i d h j e:</u> Duke aplikuar algoritmin e <i>Gaussit</i> marrim këto sisteme ekuivalente: |
|||
<center><math>\begin{matrix} |
|||
\ x_1 &+& 2 x_2 &-& \ 3 x_3 &+& \ 4 x_4 &-& \ x_5 & = -1 \\ |
|||
&-& 5 x_2 &+& \ 9 x_3 &-& 12 x_4 &+& 4 x_5 & =\; 10 \\ |
|||
&-& 5 x_2 &+& \ 8 x_3 &-& 10 x_4 &+& 2 x_5 & =\ \; 6 \\ |
|||
&-& 5 x_2 &+& 16 x_3 &-& 14 x_4 &+& 6 x_5 & =\ \; 2 \\ |
|||
&-& 3 x_2 &+& \ 2 x_3 &-& \ 2 x_4 &-& 2 x_5 & = -2 \\ |
|||
\ x_1 &+& 2 x_2 &-& \ 3 x_3 &+& \ 4 x_4 &-& \ \ x_5 & =\ -1 \\ |
|||
&-& 5 x_2 &+& \ 9 x_3 &-& 12 x_4 &+& \ 4 x_5 & =\ \; 10 \\ |
|||
& & &-& \ \ x_3 &+& \ 2 x_4 &-& \ 2 x_5 & =\ -4 \\ |
|||
& & & & \ 7 x_3 &-& \ 2 x_4 &+& \ 2 x_5 & =\ -8 \\ |
|||
& & &-& 17 x_3 &+& 26 x_4 &-& 22 x_5 & =\! -40 \\ |
|||
\ x_1 &+& 2 x_2 &-& \ 3 x_3 &+& \ 4 x_4 &-& \ \ x_5 & =\ -1 \\ |
|||
&-& 5 x_2 &+& \ 9 x_3 &-& 12 x_4 &+& \ 4 x_5 & =\ \; 10 \\ |
|||
& & &-& \ \ x_3 &+& \ 2 x_4 &-& \ 2 x_5 & =\ -4 \\ |
|||
& & & & & & 12 x_4 &-& 12 x_5 & =\! -36 \\ |
|||
& & & & &-& \ 8 x_4 &+& 12 x_5 & =\ \; 28 \\ |
|||
\ x_1 &+& 2 x_2 &-& \ 3 x_3 &+& \ 4 x_4 &-& \ \ x_5 & =\ -1 \\ |
|||
&-& 5 x_2 &+& \ 9 x_3 &-& 12 x_4 &+& \ 4 x_5 & =\ \; 10 \\ |
|||
& & &-& \ \ x_3 &+& \ 2 x_4 &-& \ 2 x_5 & =\ -4 \\ |
|||
& & & & & & 12 x_4 &-& 12 x_5 & =\! -36 \\ |
|||
& & & & & & & & \ 4 x_5 & =\quad 4 \\ |
|||
\end{matrix}</math></center> |
|||
[[Category:Matricat]][[Category:Përcaktorët]][[Category:Ekuacionet]] |
Versioni i datës 25 tetor 2008 15:33
Një metodë praktike për zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve Iineare me të panjohura është ajo e Gaussit që quhet algoritmi i Gaussit. Të shohim tani këtë algoritëm.
Le të marrim sistemin:
- dhe le të supozojmë se . Ekuacionin e parë të këtij sistemi e shumëzojmë me radhë me numrat:
dhe barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të dytë, ekuacionit të tretë, . . . , ekuacionit të fundit. Kështu merret sistemi:
Në këtë sistem e panjohura është eliminuar nga të gjitha ekuacionet, përveç ekuacionit të parë. Përsërisim këtë veprim në sistemin (a) ku ekuacionin e dytë të tij e shumëzojmë me radhë me numrat:
dhe pastaj barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të tretë, ekuacionit të katërt, . . . , ekuacionit të fundit. Me këtë rast sistemi do ta merrë këtë trajtë:
Me përsëritjen e këtij algoritmi herë do të përftohet sistemi:
i cili quhet sistemi trekëndor dhe është ekuivalent me sistemin (34). Zgjidhja e sistemit të fundit mund të reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit linear me një të panjohur. Vërtet, kur vlerën e panjohurës , të njehsuar nga ekuacioni i fundit, e zëvendësojmë në atë të parafundit, marrim ekuacionin linear me të panjohurën . Kur vlerat e njehsuara të dhe i zëvendësojmë në ekuacionin e tretë nga fundi, përsëri marrim ekuacionin linear me një të panjohur - me të panjohurën . Ky proces vazhdohet derisa edhe ekuacioni i parë i sistemit (34a) nuk reduktohet në një ekuacion me një të panjohur, nga njehsohet vlera e të panjohurës . Pra, kjo metodë e zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve lineare quhet algoritmi i Gaussit.
Shembuj
\\
\end{matrix}</math>
uacionet]]