Jump to content

Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura

Nga Wikibooks
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare


Forma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është:

(...32)

ku numrat janë koeficientet, ndërsa numrat janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori

quhet përcaktor kryesor, ndërsa

quhen përcaktorë karakteristikë të sistemit (32). Treshi i renditur quhet zgjidhja (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat zëvendësohen me . Dy sisteme ekuacionesh me të panjohura të njëjta quhen sisteme ekuivalente nëse i kanë zgjidhje të barabarta.

Formula e Cramerit

[redakto]

Formulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë:

1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë:
Meqenëse:
prandaj merret
;
2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm:
Në këtë barazim koeficientet pranë dhe janë zero, koeficienti i është , kurse kufiza e lirë është ,prandaj
;
3°. Në fund, ekuacionet e sistemit (32) i shumëzojmë me radhë me kofaktorët dhe pastaj i mbledhim:
Këtu koeficientet e dhe janë zero, koeficienti i është , kurse kufiza e lirë është e barabartë me ,prandaj kemi:
.
Kështu: nëse , zgjidhja e sistemit (32) caktohet me formulat:
(...33)
që quhen formula të Cramerit[1].

Shembuj

[redakto]

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

Me zbatimin e formulave (33) marrim:
.

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

Supozojmë se dhe zbatojmë formulat e Cramerit:

pra, treshi i renditur paraqet zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve të dhëna.

  1. 6) Sipas emrit të matematikanit të shquar zviceran Gabriel Cramer (17U4-1752).