Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Në bazë të formulave (5) dhe (18) sistemi i ekuacioneve lineare (34) mund të shprehet në këtë mënyrë:

$\left[\begin{array}{c}{a}_{1l}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$

respektivisht

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1l}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$(...39)

që quhet forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare (34), ku $A$ është matrica e atij sistemi, $X$ matrica njështyllore elementet e së cilës janë të panjohurat $x_k(k=1,2,\cdots ,n)$, kurse $B$ matrica njështyllore elementet e së cilës janë kufizat e lira $b_k(k=1,2,\cdots ,n)$. Algoritmi i zgjidhjes së ekuacionit matricial $AX=B$ është sa vijonë:

$AX=B/\cdot A^{-1}\Rightarrow A^{-1}(AX)=A^{-1}B$,

prej nga me aplikimin e ligjit të asociacionit përftohet:

$(A^{-1}A)X=A^{-1}B\Rightarrow EX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$.

Nëse tani në relacionin e fundit aplikojmë formulën (37) kemi:

$X=\frac{adjA}{detA}B=\frac{1}{D}(adjA)B$

respektivisht

$X=\frac{1}{D}\left[\begin{array}{c}{b}_1{A}_{11}+b_2{A}_{21}+\cdots +b_n{A}_{n1}\\ b_1{A}_{12}+b_2{A}_{22}+\cdots +b_n{A}_{n2}\\ ⋮\\ b_1{A}_{1n}+b_2{A}_{2n}+\cdots +b_n{A}_{nn}\end{array}\right]=\frac{1}{D}\left[\begin{array}{c}{D}_1\\ D_2\\ ⋮\\ D_n\end{array}\right]$(...40)

prej nga del:

$x_k=\frac{D_k}{D}(k=1,2,\cdots ,n)$ (...40a)

që janë në të vërtetë formulat e Cramerit.

Shembuj

Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve

$\begin{array}{ccccccccc}2x_1& +& x_2& -& 5x_3& +& x_4& =& 8\\ & & x_1& -& 2x_2& -& 6x_4& =& 9\\ & & 2x_2& -& x_3& +& 2x_4& =& -5\\ x_1& +& 4x_2& -& 7x_3& +& 6x_4& =& 0\end{array}$

Zgjidhje Meqenëse $detA=27$ dhe

$A^{-1}=\frac{1}{27}\left[\begin{array}{cccc}36& -18& 9& -27\\ -2& 7& 31& -3\\ 10& -8& 7& -12\\ 8& -11& -14& -3\end{array}\right]$

prandaj kemi

$X=A^{-1}B=\frac{1}{27}\left[\begin{array}{cccc}36& -18& 9& -27\\ -2& 7& 31& -3\\ 10& -8& 7& -12\\ 8& -11& -14& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}8\\ 9\\ -5\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{27}\left[\begin{array}{c}81\\ -108\\ -27\\ 27\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -4\\ -1\\ 1\end{array}\right]$

respektivisht

$x_1=3,x_2=-4,x_3=-1,x_4=1.$