Matricat ekuivalente

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Transformimet elementare të matricës

Transformime elementare të matricës quhen këto veprime:

1°. Permutimi i cilido dy rreshtave (ose shtyllave);

2°. Shumëzimi i një rreshti (ose shtylle) me një numër çfarëdo $\lambda .(\neq 0)$;

3°. Mbledhja e një rreshti (ose shtylle) me një rresht (ose shtyllë) tjetër më parë të shumëzuar me një numër çfarëdo.

Dy matrica $A,B$ quhen matrica ekuivalente nëse njëra mund të transformohet në tjetrën me një numër të fundëm transformimesh elementare. Matricat ekuivalente shënohen : $A\thicksim B$. Kuptohet, nëse dy matrica $A,B$ janë ekuivalente, nuk do të thotë se ato janë të barabarta. Pra, ekuivalenca e matricave nuk implikon barabarsinë e tyre

$A\thicksim B\nRightarrow A=B$,

por implikon barazinë e rangjeve të tyre:

$A\thicksim B\Rightarrow r(A)=r(B)$.

Teorema mbi rangjet e matricave ekuivalente

T e o r e m a: Matricat ekuivalente i kanë rangjet e barabarta.

V ë r t e t i m: Këtu, në të vërtetë, duhet vërtetuar se me transformime elementare nuk ndryshohet rangu i matricës.

Për këtë qëllim le të marrim bashkësinë e formave lineare:

$f_{i}=\sum _{k=1}^{n},a_{ik}x_{k}\ (l=1,2,\cdots ,m)$

matrica e së cilës është $A=[a_{ik}]_{m,n}$.

Tani arsyetojmë në këtë mënyrë:

1°. Kur në (41a) dy forma lineare çfarëdo permutohen, numri i formave të pavarura nuk ndryshohet, pra me këtë rast nuk ndryshohet as rangu i matricës $A$;

2°. Kur në (41a) cilëndo formë lineare e shumëzojmë me një numër çfarëdo $\lambda (\neq 0)$, numri i formave të pavarura nuk ndryshohet, prandaj nuk ndryshohet as rangu i matricës $A$; dhe

3°. Kur në (41a) cilëndo formë lineare $f_{j}$ e shumëzojmë me numrin $\lambda$ dhe atë ia shtojmë cilësdo formë tjetër, përsëri nuk ndryshohet numri i formave të pavarura, prandaj nuk ndryshohet as rangu i matricës $A$.

Të gjitha këto konstatime mund të provohen edhe me anën e submatricave katrore të matricës $A=[a_{ik}]_{m,n}$,, meqë me transformime elementare submatricat regulare mbeten regulare, kurse ato singulare po ashtu mbeten singulare.