Jump to content

Matricat ekuivalente

Nga Wikibooks
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare


Transformimet elementare të matricës[redakto]

Transformime elementare të matricës quhen këto veprime:

1°. Permutimi i cilido dy rreshtave (ose shtyllave);
2°. Shumëzimi i një rreshti (ose shtylle) me një numër çfarëdo ;
3°. Mbledhja e një rreshti (ose shtylle) me një rresht (ose shtyllë) tjetër më parë të shumëzuar me një numër çfarëdo.

Dy matrica quhen matrica ekuivalente nëse njëra mund të transformohet në tjetrën me një numër të fundëm transformimesh elementare. Matricat ekuivalente shënohen : . Kuptohet, nëse dy matrica janë ekuivalente, nuk do të thotë se ato janë të barabarta. Pra, ekuivalenca e matricave nuk implikon barabarsinë e tyre

,

por implikon barazinë e rangjeve të tyre:

.

Teorema mbi rangjet e matricave ekuivalente[redakto]

T e o r e m a: Matricat ekuivalente i kanë rangjet e barabarta.

V ë r t e t i m: Këtu, në të vërtetë, duhet vërtetuar se me transformime elementare nuk ndryshohet rangu i matricës.

Për këtë qëllim le të marrim bashkësinë e formave lineare:

matrica e së cilës është .

Tani arsyetojmë në këtë mënyrë:

1°. Kur në (41a) dy forma lineare çfarëdo permutohen, numri i formave të pavarura nuk ndryshohet, pra me këtë rast nuk ndryshohet as rangu i matricës ;
2°. Kur në (41a) cilëndo formë lineare e shumëzojmë me një numër çfarëdo , numri i formave të pavarura nuk ndryshohet, prandaj nuk ndryshohet as rangu i matricës ; dhe
3°. Kur në (41a) cilëndo formë lineare e shumëzojmë me numrin dhe atë ia shtojmë cilësdo formë tjetër, përsëri nuk ndryshohet numri i formave të pavarura, prandaj nuk ndryshohet as rangu i matricës .

Të gjitha këto konstatime mund të provohen edhe me anën e submatricave katrore të matricës ,, meqë me transformime elementare submatricat regulare mbeten regulare, kurse ato singulare po ashtu mbeten singulare.