Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Kur në matricën katrore $A=[a_{ik}{]}_1^n$ secili element i saj $a_{ik}$ zëvendësohet me kofaktorin $A_{ki}$ elementit $a_{ki}$ të $detA$ përftohet një matricë që quhe't matricë e adjunguar (matricë reciproke) e matricës $A$ dhe shënohet $adjA$, pra:

$adjA=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$(...29)

Përcaktori i matricës së adjunguar (29) quhet përcaktor i adjunguar i matricës $A$ dhe shënohet $detadjA$, pra:

$detadjA=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$(...30)

Meqenëse, në bazë të identiteteve:

$a_{i1}{A}_{k1}+a_{i2}{A}_{k2}+\cdots +a_{in}{A}_{kn}=\{\begin{array}{cc}D,& kuri=k\\ 0,& kuri\ne k\end{array}$ (...28b) $a_{1i}{A}_{1k}+a_{2i}{A}_{2k}+\cdots +a_{ni}{A}_{nk}=\{\begin{array}{cc}D,& kuri=k\\ 0,& kuri\ne k\end{array}$ (...28c)

ku $D=detA,i,k=l,2,\cdots ,n$ dhe në bazë të formulës (18) për prodhimin e matricave, del:

$A\cdot adjA=\left[\begin{array}{cccc}D& & & 0\\ & D& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & D\end{array}\right]$(...29a)

prandaj

$(detA)(detadjA)=(detA{)}^n$(...31}

respektivisht

$detadjA=(detA{)}^{n-1}$.(...31a)

Shembuj

Të gjindet $adjA$ dhe $detadjA$, nëse

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right]$.

Z g j i d h j e : Duke zbatuar formulën (30) përftohet:

$adjA$

$=\left[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-4& 6\\ -5& -1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -3& 1\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 9& -1\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 3& -1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 5& 1\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& -5\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}3& -4\\ 3& -5\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}3& -4\\ 2& -3\end{array}\right|\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}8& -29& 11\\ 5& -18& 7\\ -1& 3& -1\end{array}\right]$

Meqë $detA=-1$, në bazë të formulës (31a), del:

$detadjA=(-1{)}^2=1$,

gjë që konfirmohet edhe me:

$det\left|\begin{array}{ccc}8& -29& 11\\ 5& -18& 7\\ -1& 3& -1\end{array}\right|=1$.