Transponimi i matricës

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Le të jetë $M$ bashkësia e matricave kurse $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$, çfarëdo një matricë e bashkësisë $M$.

Përkufizimi

Veprimi $\tau$ i cili rreshtat e matricës $A$ i trunsforman në shtylla përkatëse e shtyllat në rreshta përkatës quhet transponim i matricës.

Simboli

Matricë e transponuar e matricës $A=[a_{ik}{]}_{m.n}$ shënohet me $A^{\tau }$ ose $A^{\prime }$, pra:

Formulimi

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\stackrel{p\ddot{e}rk}{=}\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{m1}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$ (...22)

Me transponimin e matricës njështyllore përftohet matrica njërreshtore dhe e anasjellta, pra:

${\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right]}^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11},& a_{21},& \dots ,& a_{n1}\end{array}\right];{\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11},& a_{12},& \dots ,& a_{1n}\end{array}\right]}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{12}\\ ⋮\\ a_{1n}\end{array}\right]$ (...23)

ndërkaq me transponimin e matricës simetrike $A$ përftohet përsëri matrica $A$, d.m.th.: $A^{\prime }=A$.

Për veprimin e transponimit të matricave vlejn këto ligje:

	(d1) $(A^{\prime }{)}^{\prime }=A$ ;	(d2) $(A+B{)}^{\prime }=A^{\prime }+B^{\prime }$ ;
	(d3) $(\alpha A{)}^{\prime }=\alpha A^{\prime }$ ;	(d4) $(AB{)}^{\prime }=B^{\prime }{A}^{\prime }$ .

Shembuj

Të vërtetojmë p.sh. formulën: $(AB{)}^{\prime }=B^{\prime }{A}^{\prime }$.

Le të supozojmë se matricat $A$, $B$ janë:

$A=[a_{ij}{]}_{m,n}B=[b_{jk}{]}_{n,p}$,

atëherë matrica $B^{\prime }$ do të jetë e tipit $p\times n$, kurse $A^{\prime }$ e tipit $n\times m$, çka do të thotë se ekziston prodhimi $B^{\prime }{A}^{\prime }$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $k$ me shtyllën $i$ të matricës $(AB{)}^{\prime }$ është $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}$ kurse të matricës $B^{\prime }{A}^{\prime }$ është $\sum _{j=1}^n{b}_{jk}{a}_{ij}$. Meqenëse:

$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}=\sum _{j=1}^n,b_{jk}{a}_{ij}$,

prandaj konkludojmë se është e saktë formula $(AB{)}^{\prime }=B^{\prime }{A}^{\prime }$.

Përcaktorët