Transponimi i matricës

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Le të jetë $M$ bashkësia e matricave kurse $A=[a_{ik}]_{m,n}$, çfarëdo një matricë e bashkësisë $M$.

Përkufizimi

Veprimi $\tau$ i cili rreshtat e matricës $A$ i trunsforman në shtylla përkatëse e shtyllat në rreshta përkatës quhet transponim i matricës.

Simboli

Matricë e transponuar e matricës $A=[a_{ik}]_{m.n}$ shënohet me $A^{\tau }$ ose $A^{\prime }$, pra:

Formulimi

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{m1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{m2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$ (...22)

Me transponimin e matricës njështyllore përftohet matrica njërreshtore dhe e anasjellta, pra:

${\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{n1}\end{bmatrix}}'={\begin{bmatrix}a_{11},&a_{21},&\dots ,&a_{n1}\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}a_{11},&a_{12},&\dots ,&a_{1n}\end{bmatrix}}'={\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{12}\\\vdots \\a_{1n}\end{bmatrix}}$ (...23)

ndërkaq me transponimin e matricës simetrike $A$ përftohet përsëri matrica $A$, d.m.th.: $A'=A$.

Për veprimin e transponimit të matricave vlejn këto ligje:

	(d1) $(A')'=A\,$ ;	(d2) $(A+B)'=A'+B'\,$ ;
	(d3) $(\alpha A)'=\alpha A'\,$ ;	(d4) $(AB)'=B'A'\,$ .

Shembuj

Të vërtetojmë p.sh. formulën: $(AB)'=B'A'$.

Le të supozojmë se matricat $A$, $B$ janë:

$A=[a_{ij}]_{m,n}B=[b_{jk}]_{n,p}$,

atëherë matrica $B'$ do të jetë e tipit $p\times n$, kurse $A'$ e tipit $n\times m$, çka do të thotë se ekziston prodhimi $B'A'$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $k$ me shtyllën $i$ të matricës $(AB)'$ është $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ kurse të matricës $B'A'$ është $\sum _{j=1}^{n}b_{jk}a_{ij}$. Meqenëse:

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}=\sum _{j=1}^{n},b_{jk}a_{ij}$,

prandaj konkludojmë se është e saktë formula $(AB)'=B'A'$.

Përcaktorët