Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër :
Matricat dhe përcaktorët Matricat Përcaktorët Sistemet e ekuacioneve Format lineare
Kur matrica katrore
A
=
[
a
i
k
]
1
n
{\displaystyle A=[a_{ik}]_{1}^{n}}
A
2
{\displaystyle A^{2}}
m
{\displaystyle m}
A
{\displaystyle A}
A
m
=
p
e
¨
r
k
{
A
A
.
.
.
A
⏟
m
−
h
e
r
e
¨
k
u
r
1
≠
m
∈
N
A
,
k
u
r
m
=
1
E
,
k
u
r
m
=
0
{\displaystyle A^{m}\ {\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}\ {\begin{cases}\underbrace {AA...A} _{m-her{\ddot {e}}}&kur\ 1\neq m\in N\\A,&kur\ m=1\\E,&kur\ m=0\end{cases}}}
Nga ky përkufizim rriedhin këto rregulla për fuqizimin e matricave:
(c1 )
A
m
A
n
=
A
m
+
n
{\displaystyle A^{m}A^{n}=A^{m+n}}
(c2 )
(
A
m
)
n
=
A
m
n
{\displaystyle (A^{m})^{n}=A^{mn}}
(c3 )
(
A
B
)
m
=
A
m
B
m
{\displaystyle (AB)^{m}=A^{m}B^{m}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Polinomi matricial [ redakto ] Shprehja e formës:
p
(
X
)
=
a
0
X
n
+
a
1
X
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
X
+
a
n
E
{\displaystyle p(X)=a_{0}X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}E}
ku
X
{\displaystyle X}
E
{\displaystyle E}
a
0
,
a
1
,
⋯
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}}
polinom matricial [1]
Ekuacioni matricial [ redakto ] Ekuacioni i formës:
a
0
X
n
+
a
1
X
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
X
+
a
n
E
=
0
{\displaystyle a_{0}X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}E=0}
quhet ekuacion matricial .
Rrënja e polinomit matricial dhe polinomi anulues [ redakto ] Është e qartë se polinomi matricial
p
(
X
)
{\displaystyle p(X)}
p
(
x
)
=
a
0
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
l
x
+
a
n
{\displaystyle p(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-l}x+a_{n}}
zëvendësohet në vend të variablit
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
n
E
{\displaystyle a_{n}E}
A
{\displaystyle A}
p
(
A
)
=
0
{\displaystyle p(A)=0}
A
{\displaystyle A}
rrënja e polinomit
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
, kurse polinomi
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
polinom anulues për matricën
A
{\displaystyle A}
Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë.
V ë r t e t i m: Le të jenë
S
=
[
d
δ
i
k
]
1
n
{\displaystyle S=[d\delta _{ik}]_{1}^{n}}
A
=
[
a
i
k
]
1
n
{\displaystyle A=[a_{ik}]_{1}^{n}}
n
{\displaystyle n}
(a)
S
⋅
A
=
(
d
E
)
.
A
=
d
(
E
⋅
A
)
=
d
A
{\displaystyle S\cdot A=(dE).A=d(E\cdot A)=dA}
(b)
A
⋅
S
=
A
.
(
d
E
)
=
d
(
A
⋅
E
)
=
d
A
{\displaystyle A\cdot S=A.(dE)=d(A\cdot E)=dA}
prandaj konkludojmë se vlen relacioni
S
.
A
=
A
⋅
S
{\displaystyle S.A=A\cdot S}
Të vërtetohet barazia
[
a
1
0
a
]
n
=
[
a
n
n
a
n
−
1
0
a
n
]
,
k
u
n
∈
N
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&na^{n-1}\\0&a^{n}\end{bmatrix}},ku\ n\in N}
V ë r t e t i m : Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor,
Për
n
=
2
{\displaystyle n=2}
[
a
1
0
a
]
2
=
[
a
1
0
a
]
⋅
[
a
1
0
a
]
=
[
a
2
2
a
0
a
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{2}&2a\\0&a^{2}\end{bmatrix}}}
Tani supozojmë se barazia është e saktë për
n
=
m
−
1
(
⩾
−
2
)
{\displaystyle n=m-1(\geqslant -2)}
[
a
1
0
a
]
m
−
1
=
[
a
m
−
1
(
m
−
1
)
a
m
−
2
0
a
m
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{m-1}={\begin{bmatrix}a^{m-1}&(m-1)a^{m-2}\\0&a^{m-1}\end{bmatrix}}}
Kur këtë barazi e shumëzojmë me matricën
[
a
1
0
a
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}}
[
a
1
0
a
]
m
=
[
a
m
−
1
(
m
−
1
)
a
m
−
2
0
a
m
−
1
]
⋅
[
a
1
0
a
]
=
[
a
m
m
a
m
−
1
0
a
m
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{m}={\begin{bmatrix}a^{m-1}&(m-1)a^{m-2}\\0&a^{m-1}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{m}&ma^{m-1}\\0&a^{m}\end{bmatrix}}}
çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë
∀
n
∈
N
{\displaystyle \forall n\in N}
Të zgjidhet ekuacioni matricial
2
X
+
5
E
=
3
A
{\displaystyle 2X+5E=3A}
ku
E
{\displaystyle E}
A =
[
3
2
0
0
1
−
2
6
4
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2&0\\0&1&-2\\6&4&-1\end{bmatrix}}}
Z g j i d h j e Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara:
2
X
=
3
A
−
5
E
=
3
[
3
2
0
0
1
−
2
6
4
−
1
]
−
5
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
=
{\displaystyle 2X=3A-5E=3{\begin{bmatrix}3&2&0\\0&1&-2\\6&4&-1\end{bmatrix}}-5{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=}
=
[
9
6
0
0
3
−
6
18
12
−
3
]
+
[
−
5
0
0
0
−
5
0
0
0
−
5
]
=
[
4
6
0
0
−
2
−
6
18
12
−
8
]
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}\;9&\ 6&\;0\\\;0&\;3&-6\\18&12&-3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-5&\;0&\;0\\\;0&-5&\;0\\\;0&\;0&-5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;4&\;6&\;0\\\;0&-2&-6\\18&12&-8\end{bmatrix}}}
respektivisht
X
=
[
9
3
0
0
−
1
−
3
9
6
−
4
]
{\displaystyle X={\begin{bmatrix}9&\;3&\;0\\0&-1&-3\\9&\;6&-4\end{bmatrix}}}
Transponimi i matricës
↑ 2) Për polinome bëjmë fjalë në kap. X.
![{\displaystyle A=[a_{ik}]_{1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81a7fb473a27013ebe694b86af53f0da1acad2b)
![{\displaystyle S=[d\delta _{ik}]_{1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f816add501b94467fa97513ca4e263ff4ebaf823)
