Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
|
Kur matrica katrore
shumëzohet me vetveten, përftohet katrori i saj që shënohet
. Ndërkaq fuqia
e matricës katrore
përkufizohet me relacionin:
.
Nga ky përkufizim rriedhin këto rregulla për fuqizimin e matricave:
- (c1)
;
- (c2)
,
- (c3)
, nëse matricat
,
janë komutative.
Shprehja e formës:
, (...20)
ku
dhe
janë matrica katrore dhe matrica e njësishme të rendit të njëjtë, kurse
numra çfarëdo, quhet polinom matricial[1].
Ekuacioni i formës:
(...21)
quhet ekuacion matricial.
Rrënja e polinomit matricial dhe polinomi anulues
[redakto]
Është e qartë se polinomi matricial
është matricë. Madje, në përgjithësi, polinomi matricial mund të përftohet kur në polinomin e zakonshëm
zëvendësohet në vend të variablit
matrica
dhe në vend të kufizës së lirë
matrica skalare
e rendit të njëjtë me matricën
. Nëse me atërast përftohet zero-matricë, d.m.th. nëse
, matrica
quhet rrënja e polinomit
, kurse polinomi
quhet polinom anulues për matricën
.
Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë.
V ë r t e t i m: Le të jenë
dhe
çfarëdo një matricë skalare dhe çfarëdo një matricë katrore të rendit
. Meqë është:
- (a)
; dhe
- (b)
,
prandaj konkludojmë se vlen relacioni
.
Të vërtetohet barazia
.
V ë r t e t i m: Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor,
Për
kemi:
.
Tani supozojmë se barazia është e saktë për
:
.
Kur këtë barazi e shumëzojmë me matricën
del:
.
çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë
.
Të zgjidhet ekuacioni matricial
,
ku
është matricë e njësishme e rendit të tretë, kurse
A =
.
Z g j i d h j e Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara:
- respektivisht
Transponimi i matricës
- ↑ 2) Për polinome bëjmë fjalë në kap. X.