Jump to content

Fuqia e matricave katrore

Nga Wikibooks
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare


Kur matrica katrore shumëzohet me vetveten, përftohet katrori i saj që shënohet . Ndërkaq fuqia e matricës katrore përkufizohet me relacionin:

.

Nga ky përkufizim rriedhin këto rregulla për fuqizimin e matricave:

(c1)  ;
(c2) ,
(c3) , nëse matricat , janë komutative.

Polinomi matricial[redakto]

Shprehja e formës:

, (...20)

ku dhe janë matrica katrore dhe matrica e njësishme të rendit të njëjtë, kurse numra çfarëdo, quhet polinom matricial[1].

Ekuacioni matricial[redakto]

Ekuacioni i formës:

(...21)

quhet ekuacion matricial.

Rrënja e polinomit matricial dhe polinomi anulues[redakto]

Është e qartë se polinomi matricial është matricë. Madje, në përgjithësi, polinomi matricial mund të përftohet kur në polinomin e zakonshëm

zëvendësohet në vend të variablit matrica dhe në vend të kufizës së lirë matrica skalare e rendit të njëjtë me matricën . Nëse me atërast përftohet zero-matricë, d.m.th. nëse , matrica quhet rrënja e polinomit , kurse polinomi quhet polinom anulues për matricën .

Shembuj[redakto]

Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë.

V ë r t e t i m: Le të jenë dhe çfarëdo një matricë skalare dhe çfarëdo një matricë katrore të rendit . Meqë është:

(a)  ; dhe
(b) ,

prandaj konkludojmë se vlen relacioni .


Të vërtetohet barazia

.

V ë r t e t i m: Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor,

Për kemi:

.

Tani supozojmë se barazia është e saktë për :

.

Kur këtë barazi e shumëzojmë me matricën del:

.

çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë .


Të zgjidhet ekuacioni matricial

,

ku është matricë e njësishme e rendit të tretë, kurse

A = .

Z g j i d h j e Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara:

respektivisht

Transponimi i matricës

  1. 2) Për polinome bëjmë fjalë në kap. X.