Vetit e përcaktorëve

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Në bazë të relacioneve përkufizuese (24), (25) të përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë, me njehsime të drejtpërdrejta mund të provohen këto veti të përcaktorëve:

(a1)	$\det A'=\det A\,\!$
(a2)	${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$	$=-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{11}&a_{12}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{11}\\a_{22}&a_{21}\end{vmatrix}}$
(a3)	$\alpha {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$	$={\begin{vmatrix}\alpha a_{11}&\alpha a_{12}\\\;a_{21}&\;a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\;a_{11}&\;a_{12}\\\alpha a_{21}&\alpha a_{22}\end{vmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}\alpha a_{11}&a_{12}\\\alpha a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&\alpha a_{12}\\a_{21}&\alpha a_{22}\end{vmatrix}}$
(a4)	${\begin{vmatrix}\;a_{11}&\;a_{12}\\\alpha a_{21}&\alpha a_{22}\end{vmatrix}}$	$=0\;,{\begin{vmatrix}a_{11}&\alpha a_{12}\\a_{21}&\alpha a_{22}\end{vmatrix}}=0;$
(a5)	${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}+a\\a_{21}&a_{22}+b\end{vmatrix}}$	$={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a\\a_{21}&b\end{vmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}\qquad a_{11}&\qquad a_{12}\\a_{21}+a&a_{22}+b\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\\;a&\;b\end{vmatrix}}$
(a6)	${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$	$={\begin{vmatrix}\qquad a_{11}&\qquad a_{12}\\a_{21}+\alpha a_{11}&a_{22}+\alpha a_{12}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}+\alpha a_{21}&a_{12}+\alpha a_{22}\\\qquad a_{21}&\qquad a_{22}\end{vmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}+\alpha a_{11}\\a_{21}&a_{22}+\alpha a_{21}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}+\alpha a_{12}&a_{12}\\a_{21}+\alpha a_{22}&a_{22}\end{vmatrix}}$
(a7)	Nëse $A=[a_{ik}]_{1}^{n},B=[b_{ik}]_{1}^{n}(n=2\vee 3)$ atëherë $\det(AB)=(\det A)(\det B)\,$.

Në bazë të relacionit përkufizues (26) mund të vërtetohet se po këto veti i kanë edhe përcaktorët e rendit $n$, rrjedhimisht nëse $A$ dhe $B$ janë dy matrica katrore të rendit $n$, atëherë:

(a₁) $\det A'=\det A$.

(a₂) Përcaktori e ndërron parashenjën kur dy rreshtat (shtyllat) e $\det A$ permutohen.

(a₃) Përcaktori shumëzohet (pjesëtohet) me skalarin $\alpha$, kur të gjitha elementet e një rreshti (shtylle) shumëzohen (pjesëtohen) me $\alpha$.

(a₄) Përcaktori është i barabartë me zero, kur elementet e një rreshti (shtylle) janë proporcionale me elementet përkatëse të ndonjë rreshti (shtylle) tjetër.

(a₅) Nëse të gjitha elementet e rreshtit (shtyllës) të $i$-të të $\det A$ janë paraqitur në formë të shumës së dy mbledhësve, përcaktori i tillë është i barabartë me shumën e dy përcaktorëve në të cilët të gjithë rreshtat (shtyllat), përveç rreshtit (shtyllës) të $i$-të janë sikurse në $\det A$, kurse rreshti (shtylla) i $i$-të përbëhet prej mbledhësve të parë në përcaktorin e parë, e prej mbledhësve të dytë në përcaktorin e dytë.

(a₆) Përcaktori nuk ndryshohet nëse një rresht (shtyllë) i tij çfarëdo shumëzohet (pjesëtohet) me skalarin $\alpha$ dhe i shtohet ndonjë rreshti (shtyllë) tjetër.

(a₇) $\det(AB)=(\det A)(\det B)$.

Nga vetia (a₃) drejtpërsëdrejti mund të nxirren këto dy rregulla praktike:

1°. Kur të gjitha elementet e një rreshti (shtyllë) të përcaktorit përmbajnë një faktor të përbashkët, faktoti i tillë mund të nxirret para përcaktorit;

2°. Kur të gjitha elementet e një rreshti (shtyllë) të përcaktorit janë të barabarta me zero, edhe vetë përcaktori është i barabartë me zero.

Përndryshe, vetitë e përmendura të përcaktorëve shfrytëzohen për t'i thjeshtësuar ato dhe për ta njehsuar më lehtë vlerën e tyre.