Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
|
Në p. 7.1. kemi pa se, në rastin e përgjithshëm, çfarëdo një matrice
i përkasin një numër i konsiderueshëm submatricash katrore, prandaj përcaktimi i rangut të matricës nëpërmjet të submatricave katrore korresponduese është mjaft i gjatë dhe jopraktik. Të shohim tani këtu një mënyrë praktike të përcaktimit të rangut të matricës.
Matrica e tipit
të formës
|
quhet forma kanonike e matricës. Do të shohim se me anën e transformimeve elementare çdo matricë
mund të transformohet në formën kanonike (43).
Me këtë qëllim le të shohim matricën
. Supozojmë se
(në rast se ky kusht nuk plotësohet,
, atëherë permutohet rreshti (shtylla) i parë me ndonjë rresht (shtyllë) tjetër, ku elementi i parë nuk është i barabartë me zero). Kur rreshtin e parë të matricës
e shumëzojmë me numrin
përftohet matrica ekuivalente:
Shtyllën e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat:
dhe pastaj me radhë ia shtojmë shtyllës së dytë, të tretë,
, shtyllës
. Kështu përftohet matrica ekuivalente e formës:
Rreshtin e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat
dhe me radhë ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë,
, rreshtit
. Me këtë rast përftohet matrica ekuivalente e formës:
Supozojmë se
dhe këtë algoritëm e përsërisim në matricën
me ç,rast do të përftohet matrica ekuivalente e formës:
Këtë veprim e vazhdojmë (përsërisim) derisa matrica e dhënë
nuk transformohet në formën kanonike (43).
Rangu i matricës kanonike (43) është i barabartë me numrin e njësheve në diagonalën kryesore të saj.
Për shembull:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&\ 4&\ 4&1&2\\2&\ 5&\ 8&2&3\\1&-\!2&\ 4&1&0\\3&\ 1&12&3&2\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e41d68a098cbcfbf413b5c776bd1cf77f3ef61)
|
(Shumëzojmë shtyllën e parë me radhë me dhe ia shtojmë shtyllës së dytë, së tretë, së katërt, së pestë)
|
![{\displaystyle \thicksim {\begin{bmatrix}1&\ 0&0&0&\ 0\\2&-\!3&0&0&-\!1\\1&-\!6&0&0&-\!2\\3&-\!11&0&0&-\!4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf96917fef48a69c1640a4b8284cd8940099a3f)
|
(Shumëzojmë rreshtin e parë me radhë me dhe ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, të katërt)
|
![{\displaystyle \thicksim {\begin{bmatrix}1&\ 0&0&0&\ 0\\0&-3&0&0&-1\\0&-6&0&0&-2\\0&-11&0&0&-4\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0007ab6d5c7b1222c73e68cc92a2b4f6647e6b54)
|
(Permutojmë shtyllën e pestë me të tretën dhe pastaj me të dytën)
|
![{\displaystyle \thicksim {\begin{bmatrix}1&\ 0&\ 0&0&0\\0&-1&-3&0&0\\0&-2&-6&0&0\\0&-4&-\!11&0&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423d99dfd2a50ae86db362b6f2bfd4375ea86e77)
|
(Shumëzojmë shtyllën e dytë dhe të tretë me )
|
![{\displaystyle \thicksim {\begin{bmatrix}1&0&\ 0&0&0\\0&1&\ 3&0&0\\0&2&\ 6&0&0\\0&4&11&0&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b70ddfdc9e720a59490493dbcd2441715c8bdba)
|
(Shumëzojmë shtyllën e dytë me dhe ia shtojmë shtyllës së tretë)
|
![{\displaystyle \thicksim {\begin{bmatrix}1&0&\ 0&0&0\\0&1&\ 0&0&0\\0&2&\ 0&0&0\\0&4&-1&0&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc595be1faab7bc45da367312a995df0ae5ed2a3)
|
(Shumëzojmë rreshtin e dytë me dhe dhe ia shtojmë rreshtit të tretë, përkatësisht të katërt)
|
![{\displaystyle \thicksim {\begin{bmatrix}1&0&\ 0&0&0\\0&1&\ 0&0&0\\0&0&\ 0&0&0\\0&0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49bded587a4686c9a5a6a1cf11fe16a12b50c90)
|
(Shumëzojmë rreshtin e katërt me -1 dhe permutojmë me rreshtin e tretë)
|
![{\displaystyle \thicksim {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a5c1cf01432d4203041e0e62bdf7c4d09087b8)
|
Pra, përftuam matricën në formën kanonike, nga del se
.