Jump to content

Përcaktimi praktik i rangut të matricës

Nga Wikibooks
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare



Në p. 7.1. kemi pa se, në rastin e përgjithshëm, çfarëdo një matrice i përkasin një numër i konsiderueshëm submatricash katrore, prandaj përcaktimi i rangut të matricës nëpërmjet të submatricave katrore korresponduese është mjaft i gjatë dhe jopraktik. Të shohim tani këtu një mënyrë praktike të përcaktimit të rangut të matricës.

Forma kanonike e matricës

[redakto]

Matrica e tipit të formës

quhet forma kanonike e matricës. Do të shohim se me anën e transformimeve elementare çdo matricë mund të transformohet në formën kanonike (43).

Transformimi i matricës në formë kanonike

[redakto]

Me këtë qëllim le të shohim matricën . Supozojmë se (në rast se ky kusht nuk plotësohet, , atëherë permutohet rreshti (shtylla) i parë me ndonjë rresht (shtyllë) tjetër, ku elementi i parë nuk është i barabartë me zero). Kur rreshtin e parë të matricës e shumëzojmë me numrin përftohet matrica ekuivalente:

Shtyllën e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat:

dhe pastaj me radhë ia shtojmë shtyllës së dytë, të tretë, , shtyllës . Kështu përftohet matrica ekuivalente e formës:

Rreshtin e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat dhe me radhë ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, , rreshtit . Me këtë rast përftohet matrica ekuivalente e formës:

Supozojmë se dhe këtë algoritëm e përsërisim në matricën

me ç,rast do të përftohet matrica ekuivalente e formës:

Këtë veprim e vazhdojmë (përsërisim) derisa matrica e dhënë nuk transformohet në formën kanonike (43).

Rangu i matricës kanonike (43) është i barabartë me numrin e njësheve në diagonalën kryesore të saj.

Shembuj

[redakto]

Për shembull:

(Shumëzojmë shtyllën e parë me radhë me dhe ia shtojmë shtyllës së dytë, së tretë, së katërt, së pestë)
(Shumëzojmë rreshtin e parë me radhë me dhe ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, të katërt)
(Permutojmë shtyllën e pestë me të tretën dhe pastaj me të dytën)
(Shumëzojmë shtyllën e dytë dhe të tretë me )
(Shumëzojmë shtyllën e dytë me dhe ia shtojmë shtyllës së tretë)
(Shumëzojmë rreshtin e dytë me dhe dhe ia shtojmë rreshtit të tretë, përkatësisht të katërt)
(Shumëzojmë rreshtin e katërt me -1 dhe permutojmë me rreshtin e tretë)

Pra, përftuam matricën në formën kanonike, nga del se .