Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër :
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
Prodhimi i dy matricave [ redakto ]
Prodhimi i dy matricave
A
=
[
a
i
;
]
m
,
n
B
=
[
b
j
k
]
n
,
p
{\displaystyle A=[ai;]_{m,n}B=[b_{jk}]_{n,p}}
quhet matrica
C
=
[
c
i
k
]
m
,
p
{\displaystyle C=[c_{ik}]_{m,p}}
elementet e së cilës shprehen me relacionet:
c
i
k
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
j
k
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
;
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
p
)
{\displaystyle c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\ (i=1,2,...,m;k=1,2,...,p)}
[1]
[
a
i
j
]
m
,
n
⋅
[
b
j
k
]
n
,
p
=
[
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
j
k
]
m
,
p
{\displaystyle [a_{ij}]_{m,n}\cdot [b_{jk}]_{n,p}=[\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}]_{m,p}}
(...18)
Nga ky përkufizim del:
(1) Elementi
c
i
k
{\displaystyle c_{ik}}
i prodhimit të matricave
A
,
B
{\displaystyle A,B}
është i barabartë me shumën algjebrike të prodhimeve të elementeve të rreshtit „
i
{\displaystyle i}
" të matricës
A
{\displaystyle A}
me elementet korresponduese të shtyllës „
k
{\displaystyle k}
" të matricës
B
{\displaystyle B}
. Tabela që vijon paraqet skemën e njehsimit të këtij elementi:
(2) Prodhimi i dy matricave
A
,
B
{\displaystyle A,B}
ekziston atëherë dhë vetëm atëherë, nëse numri i shtyllave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Prandaj del se gjithmonë ekziston prodhimi i matricave katrore të rendit të njëjtë.
Përjashtimi i ligjit të komutacionit [ redakto ]
Kështu fare nuk mund të flitet për ligjin e komutacionit lidhur me shumëzimin e matricave drejtkëndore, ose të matricës drejtkëndore me matricën katrore, sepse me ndërrimin e renditjes së faktorëve, eliminohet kushti i nevojshëm që numri i shtyllave të faktorit të parë të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Madje, në përgjithësi, as shumëzimi i dy matricave katrore nuk është veprim komutativ. Vërtet, nëse e marrim se
A
=
[
a
i
k
]
1
n
,
B
=
[
b
i
k
]
1
n
{\displaystyle A=[a_{ik}]_{1}^{n},B=[b_{ik}]_{1}^{n}}
janë çfarëdo dy matrica katrore të rendit
n
{\displaystyle n}
atëherë elementi
c
i
k
{\displaystyle c_{ik}}
i prodhimit
A
⋅
B
{\displaystyle A\cdot B}
është:
c
i
k
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
j
k
=
a
i
1
b
1
k
+
a
i
2
b
2
k
+
⋯
+
a
i
n
b
n
k
{\displaystyle c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\cdots +a_{in}b_{nk}}
ndërsa elementi përkatës
d
i
k
{\displaystyle d_{ik}}
i prodhimit
B
⋅
A
{\displaystyle B\cdot A}
është:
d
i
k
=
∑
j
=
1
n
b
i
j
a
j
k
=
b
i
1
a
1
k
+
b
i
2
a
2
k
+
⋯
+
b
i
n
a
n
k
{\displaystyle d_{ik}=\sum _{j=1}^{n}b_{ij}a_{jk}=b_{i1}a_{1k}+b_{i2}a_{2k}+\cdots +b_{in}a_{nk}}
nga del se, në rastin e përgjithshëm:
c
i
k
≠
d
i
k
(
i
,
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle c_{ik}\neq d_{ik}\ (i,k=1,2,...,n)}
.
Matricat komutative [ redakto ]
Mirëpo, kur për dy matrica katrore
A
,
B
{\displaystyle A,B}
vlen ligji i komutacionit
(
A
⋅
B
=
B
⋅
A
)
{\displaystyle (A\cdot B=B\cdot A)}
, ato quhen matrica komutative .
Le të jenë dhënë matricat
A
=
[
4
2
−
2
4
1
3
1
−
5
]
,
B
=
[
5
1
0
3
2
4
5
3
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&2\\-2&4\\1&3\\1&-5\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}5&1&0&3\\2&4&5&3\end{bmatrix}}}
Të njehsohen prodhimet
A
⋅
B
{\displaystyle A\cdot B}
dhe
B
⋅
A
{\displaystyle B\cdot A}
.
Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (18) përftojmë:
A
⋅
B
=
[
24
12
10
18
−
2
14
20
6
11
13
15
12
−
5
−
19
−
25
−
12
]
{\displaystyle A\cdot B={\begin{bmatrix}24&12&10&18\\-2&14&20&6\\11&13&15&12\\-5&-19&-25&-12\end{bmatrix}}}
, dhe
B
⋅
A
=
[
21
−
1
8
20
]
{\displaystyle B\cdot A={\begin{bmatrix}21&-1\\8&20\end{bmatrix}}}
Të vërtetohet se matrica e njësishme
E
{\displaystyle E}
e rendit
n
{\displaystyle n}
është element neutral lidhur me shumëzimin e matricave katrore të rendit
n
{\displaystyle n}
. respektivisht se
A
⋅
E
=
E
⋅
A
=
A
{\displaystyle A\cdot E=E\cdot A=A}
.
V ë r t e t i m : Duke përdorur formulat (14) dhe (18) njehsojmë elementin që ndodhet në prerjen e rreshtit
i
{\displaystyle i}
me shtyllën
k
{\displaystyle k}
për prodhimet
E
⋅
A
{\displaystyle E\cdot A}
dhe
A
⋅
E
{\displaystyle A\cdot E}
:
c
i
k
=
∑
j
=
1
n
δ
i
j
a
j
k
=
a
i
k
,
d
i
k
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
δ
j
k
=
a
i
k
{\displaystyle c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}a_{jk}=a_{ik},\ d_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\delta _{jk}=a_{ik}}
.
Pra, meqë
c
i
k
=
d
i
k
=
a
i
k
{\displaystyle c_{ik}=d_{ik}=a_{ik}}
konkludojmë se është i saktë pohimi.
Ligjet për shumëzimin e matricave [ redakto ]
Për shumëzimin e matricave vlejnë këto ligje:
(b1 )
α
(
A
B
)
=
(
α
A
)
B
=
A
(
α
B
)
{\displaystyle \alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)}
;
(b2 )
(
A
B
)
C
=
A
(
B
C
)
{\displaystyle (AB)C=A(BC)}
;
(b3 )
(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C
{\displaystyle (A+B)C=AC+BC}
;
(b4 )
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
{\displaystyle A(B+C)=AB+AC}
.
Vërtetimi i ligjit të asociacionit [ redakto ]
Të vërtetojmë, p.sh. ligjin e asociacionit:
(
A
B
)
C
=
A
(
B
C
)
{\displaystyle (AB)C=A(BC)}
.
Le të supozojmë se matricat A, B, C janë:
A
=
[
a
i
j
]
m
,
n
,
B
=
[
b
j
k
]
n
,
p
,
C
=
[
c
k
i
]
p
,
q
{\displaystyle A=[a_{ij}]_{m,n},B=[b_{jk}]_{n,p},C=[c_{ki}]_{p,q}}
.
Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit
i
{\displaystyle i}
me shtyllën
k
{\displaystyle k}
të matricës
A
B
{\displaystyle AB}
është:
d
i
k
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
j
k
{\displaystyle d_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}}
.
Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit
i
{\displaystyle i}
me shtyllën
l
{\displaystyle l}
të matricës
(
A
B
)
C
{\displaystyle (AB)C}
është:
e
i
l
=
∑
k
=
1
p
d
i
k
c
k
i
=
∑
k
1
p
(
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
j
k
)
c
k
l
=
∑
k
=
1
p
,
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
j
k
c
k
i
{\displaystyle e_{il}=\sum _{k=1}^{p}d_{ik}c_{ki}=\sum _{k1}^{p}(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk})c_{kl}=\sum _{k=1}^{p},\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki}}
.
Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit
j
{\displaystyle j}
me shtyllën
l
{\displaystyle l}
të matricës
B
C
{\displaystyle BC}
është:
f
j
l
=
∑
k
=
1
p
b
j
k
c
k
l
{\displaystyle f_{jl}=\sum _{k=1}^{p}b_{jk}c_{kl}}
.
Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit
i
{\displaystyle i}
me shtyllën
l
{\displaystyle l}
të matricës
A
(
B
C
)
{\displaystyle A(BC)}
është:
g
i
l
=
a
i
j
f
j
l
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
(
∑
k
=
1
p
b
j
k
c
k
l
)
=
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
p
a
i
j
b
j
k
c
k
l
{\displaystyle g_{il}=a_{ij}f_{jl}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(\sum _{k=1}^{p}b_{jk}c_{kl})=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{p}a_{ij}b_{jk}c_{kl}}
.
Meqenëse është i saktë relacioni
∑
k
=
1
p
∑
j
=
1
n
a
i
j
b
j
k
c
k
l
=
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
p
a
i
j
b
j
k
c
k
l
{\displaystyle \sum _{k=1}^{p}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{kl}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{p}a_{ij}b_{jk}c_{kl}}
,
konkludojmë se shumëzimi i matricave është veprim asociativ.
Fuqia e matricave katrore
↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).