Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore

Nga Wikibooks
Jump to navigation Jump to search
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare


Prodhimi i dy matricave[redakto]

Përkufizimi[redakto]

Prodhimi i dy matricave quhet matrica elementet e së cilës shprehen me relacionet:

[1]

Formulimi[redakto]

(...18)

Vetitë[redakto]

Nga ky përkufizim del:

(1) Elementi i prodhimit të matricave është i barabartë me shumën algjebrike të prodhimeve të elementeve të rreshtit „" të matricës me elementet korresponduese të shtyllës „" të matricës . Tabela që vijon paraqet skemën e njehsimit të këtij elementi:
094 Tabela e matricave.PNG
(2) Prodhimi i dy matricave ekziston atëherë dhë vetëm atëherë, nëse numri i shtyllave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Prandaj del se gjithmonë ekziston prodhimi i matricave katrore të rendit të njëjtë.

Përjashtimi i ligjit të komutacionit[redakto]

Kështu fare nuk mund të flitet për ligjin e komutacionit lidhur me shumëzimin e matricave drejtkëndore, ose të matricës drejtkëndore me matricën katrore, sepse me ndërrimin e renditjes së faktorëve, eliminohet kushti i nevojshëm që numri i shtyllave të faktorit të parë të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Madje, në përgjithësi, as shumëzimi i dy matricave katrore nuk është veprim komutativ. Vërtet, nëse e marrim se janë çfarëdo dy matrica katrore të rendit atëherë elementi i prodhimit është:

ndërsa elementi përkatës i prodhimit është:

nga del se, në rastin e përgjithshëm:

.

Matricat komutative[redakto]

Mirëpo, kur për dy matrica katrore vlen ligji i komutacionit , ato quhen matrica komutative.

Shembuj[redakto]

Le të jenë dhënë matricat

Të njehsohen prodhimet dhe .

Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (18) përftojmë:

, dhe

Të vërtetohet se matrica e njësishme e rendit është element neutral lidhur me shumëzimin e matricave katrore të rendit . respektivisht se .

V ë r t e t i m: Duke përdorur formulat (14) dhe (18) njehsojmë elementin që ndodhet në prerjen e rreshtit me shtyllën për prodhimet dhe :

.

Pra, meqë konkludojmë se është i saktë pohimi.

Ligjet për shumëzimin e matricave[redakto]

Për shumëzimin e matricave vlejnë këto ligje:

(b1) ;
(b2) ;
(b3) ;
(b4) .

Vërtetimi i ligjit të asociacionit[redakto]

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin e asociacionit: .

Le të supozojmë se matricat A, B, C janë:

.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit me shtyllën të matricës është:

.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit me shtyllën të matricës është:

.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit me shtyllën të matricës është:

.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit me shtyllën të matricës është:

.

Meqenëse është i saktë relacioni

,

konkludojmë se shumëzimi i matricave është veprim asociativ. Fuqia e matricave katrore

Burime[redakto]

  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).