Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Prodhimi i dy matricave

Përkufizimi

Prodhimi i dy matricave $A=[ai;{]}_{m,n}B=[b_{jk}{]}_{n,p}$ quhet matrica $C=[c_{ik}{]}_{m,p}$ elementet e së cilës shprehen me relacionet:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}(i=1,2,\mathrm{...},m;k=1,2,\mathrm{...},p)$

Formulimi

$[a_{ij}{]}_{m,n}\cdot [b_{jk}{]}_{n,p}=[\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}{]}_{m,p}$ (...18)

Vetitë

Nga ky përkufizim del:

(1) Elementi $c_{ik}$ i prodhimit të matricave $A,B$ është i barabartë me shumën algjebrike të prodhimeve të elementeve të rreshtit „$i$" të matricës $A$ me elementet korresponduese të shtyllës „$k$" të matricës $B$. Tabela që vijon paraqet skemën e njehsimit të këtij elementi:

(2) Prodhimi i dy matricave $A,B$ ekziston atëherë dhë vetëm atëherë, nëse numri i shtyllave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Prandaj del se gjithmonë ekziston prodhimi i matricave katrore të rendit të njëjtë.

Përjashtimi i ligjit të komutacionit

Kështu fare nuk mund të flitet për ligjin e komutacionit lidhur me shumëzimin e matricave drejtkëndore, ose të matricës drejtkëndore me matricën katrore, sepse me ndërrimin e renditjes së faktorëve, eliminohet kushti i nevojshëm që numri i shtyllave të faktorit të parë të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Madje, në përgjithësi, as shumëzimi i dy matricave katrore nuk është veprim komutativ. Vërtet, nëse e marrim se $A=[a_{ik}{]}_1^n,B=[b_{ik}{]}_1^n$ janë çfarëdo dy matrica katrore të rendit $n$ atëherë elementi $c_{ik}$ i prodhimit $A\cdot B$ është:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}=a_{i1}{b}_{1k}+a_{i2}{b}_{2k}+\cdots +a_{in}{b}_{nk}$

ndërsa elementi përkatës $d_{ik}$ i prodhimit $B\cdot A$ është:

$d_{ik}=\sum _{j=1}^n{b}_{ij}{a}_{jk}=b_{i1}{a}_{1k}+b_{i2}{a}_{2k}+\cdots +b_{in}{a}_{nk}$

nga del se, në rastin e përgjithshëm:

$c_{ik}\ne d_{ik}(i,k=1,2,\mathrm{...},n)$

.

Matricat komutative

Mirëpo, kur për dy matrica katrore $A,B$ vlen ligji i komutacionit $(A\cdot B=B\cdot A)$, ato quhen matrica komutative.

Shembuj

Le të jenë dhënë matricat

$A=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 4\\ 1& 3\\ 1& -5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}5& 1& 0& 3\\ 2& 4& 5& 3\end{array}\right]$

Të njehsohen prodhimet $A\cdot B$ dhe $B\cdot A$.

Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (18) përftojmë:

$A\cdot B=\left[\begin{array}{cccc}24& 12& 10& 18\\ -2& 14& 20& 6\\ 11& 13& 15& 12\\ -5& -19& -25& -12\end{array}\right]$, dhe $B\cdot A=\left[\begin{array}{cc}21& -1\\ 8& 20\end{array}\right]$

---

Të vërtetohet se matrica e njësishme $E$ e rendit $n$ është element neutral lidhur me shumëzimin e matricave katrore të rendit $n$. respektivisht se $A\cdot E=E\cdot A=A$.

V ë r t e t i m: Duke përdorur formulat (14) dhe (18) njehsojmë elementin që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $k$ për prodhimet $E\cdot A$ dhe $A\cdot E$:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^n{\delta }_{ij}{a}_{jk}=a_{ik},d_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{jk}=a_{ik}$.

Pra, meqë $c_{ik}=d_{ik}=a_{ik}$ konkludojmë se është i saktë pohimi.

Ligjet për shumëzimin e matricave

Për shumëzimin e matricave vlejnë këto ligje:

(b₁) $\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$;

(b₂) $(AB)C=A(BC)$;

(b₃) $(A+B)C=AC+BC$;

(b₄) $A(B+C)=AB+AC$.

Vërtetimi i ligjit të asociacionit

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin e asociacionit: $(AB)C=A(BC)$.

Le të supozojmë se matricat A, B, C janë:

$A=[a_{ij}{]}_{m,n},B=[b_{jk}{]}_{n,p},C=[c_{ki}{]}_{p,q}$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $k$ të matricës $AB$ është:

$d_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $l$ të matricës $(AB)C$ është:

$e_{il}=\sum _{k=1}^p{d}_{ik}{c}_{ki}=\sum _{k1}^p(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk})c_{kl}=\sum _{k=1}^p,\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{ki}$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $j$ me shtyllën $l$ të matricës $BC$ është:

$f_{jl}=\sum _{k=1}^p{b}_{jk}{c}_{kl}$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $l$ të matricës $A(BC)$ është:

$g_{il}=a_{ij}{f}_{jl}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(\sum _{k=1}^p{b}_{jk}{c}_{kl})=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^p{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{kl}$.

Meqenëse është i saktë relacioni

$\sum _{k=1}^p\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{kl}=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^p{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{kl}$,

konkludojmë se shumëzimi i matricave është veprim asociativ. Fuqia e matricave katrore