Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Prodhimi i dy matricave

Përkufizimi

Prodhimi i dy matricave $A=[ai;]_{m,n}B=[b_{jk}]_{n,p}$ quhet matrica $C=[c_{ik}]_{m,p}$ elementet e së cilës shprehen me relacionet:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\ (i=1,2,...,m;k=1,2,...,p)$

Formulimi

$[a_{ij}]_{m,n}\cdot [b_{jk}]_{n,p}=[\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}]_{m,p}$ (...18)

Vetitë

Nga ky përkufizim del:

(1) Elementi $c_{ik}$ i prodhimit të matricave $A,B$ është i barabartë me shumën algjebrike të prodhimeve të elementeve të rreshtit „$i$" të matricës $A$ me elementet korresponduese të shtyllës „$k$" të matricës $B$. Tabela që vijon paraqet skemën e njehsimit të këtij elementi:

(2) Prodhimi i dy matricave $A,B$ ekziston atëherë dhë vetëm atëherë, nëse numri i shtyllave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Prandaj del se gjithmonë ekziston prodhimi i matricave katrore të rendit të njëjtë.

Përjashtimi i ligjit të komutacionit

Kështu fare nuk mund të flitet për ligjin e komutacionit lidhur me shumëzimin e matricave drejtkëndore, ose të matricës drejtkëndore me matricën katrore, sepse me ndërrimin e renditjes së faktorëve, eliminohet kushti i nevojshëm që numri i shtyllave të faktorit të parë të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Madje, në përgjithësi, as shumëzimi i dy matricave katrore nuk është veprim komutativ. Vërtet, nëse e marrim se $A=[a_{ik}]_{1}^{n},B=[b_{ik}]_{1}^{n}$ janë çfarëdo dy matrica katrore të rendit $n$ atëherë elementi $c_{ik}$ i prodhimit $A\cdot B$ është:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\cdots +a_{in}b_{nk}$

ndërsa elementi përkatës $d_{ik}$ i prodhimit $B\cdot A$ është:

$d_{ik}=\sum _{j=1}^{n}b_{ij}a_{jk}=b_{i1}a_{1k}+b_{i2}a_{2k}+\cdots +b_{in}a_{nk}$

nga del se, në rastin e përgjithshëm:

$c_{ik}\neq d_{ik}\ (i,k=1,2,...,n)$

.

Matricat komutative

Mirëpo, kur për dy matrica katrore $A,B$ vlen ligji i komutacionit $(A\cdot B=B\cdot A)$, ato quhen matrica komutative.

Shembuj

Le të jenë dhënë matricat

$A={\begin{bmatrix}4&2\\-2&4\\1&3\\1&-5\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}5&1&0&3\\2&4&5&3\end{bmatrix}}$

Të njehsohen prodhimet $A\cdot B$ dhe $B\cdot A$.

Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (18) përftojmë:

$A\cdot B={\begin{bmatrix}24&12&10&18\\-2&14&20&6\\11&13&15&12\\-5&-19&-25&-12\end{bmatrix}}$, dhe $B\cdot A={\begin{bmatrix}21&-1\\8&20\end{bmatrix}}$

---

Të vërtetohet se matrica e njësishme $E$ e rendit $n$ është element neutral lidhur me shumëzimin e matricave katrore të rendit $n$. respektivisht se $A\cdot E=E\cdot A=A$.

V ë r t e t i m: Duke përdorur formulat (14) dhe (18) njehsojmë elementin që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $k$ për prodhimet $E\cdot A$ dhe $A\cdot E$:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}a_{jk}=a_{ik},\ d_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\delta _{jk}=a_{ik}$.

Pra, meqë $c_{ik}=d_{ik}=a_{ik}$ konkludojmë se është i saktë pohimi.

Ligjet për shumëzimin e matricave

Për shumëzimin e matricave vlejnë këto ligje:

(b₁) $\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$;

(b₂) $(AB)C=A(BC)$;

(b₃) $(A+B)C=AC+BC$;

(b₄) $A(B+C)=AB+AC$.

Vërtetimi i ligjit të asociacionit

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin e asociacionit: $(AB)C=A(BC)$.

Le të supozojmë se matricat A, B, C janë:

$A=[a_{ij}]_{m,n},B=[b_{jk}]_{n,p},C=[c_{ki}]_{p,q}$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $k$ të matricës $AB$ është:

$d_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $l$ të matricës $(AB)C$ është:

$e_{il}=\sum _{k=1}^{p}d_{ik}c_{ki}=\sum _{k1}^{p}(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk})c_{kl}=\sum _{k=1}^{p},\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki}$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $j$ me shtyllën $l$ të matricës $BC$ është:

$f_{jl}=\sum _{k=1}^{p}b_{jk}c_{kl}$.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $l$ të matricës $A(BC)$ është:

$g_{il}=a_{ij}f_{jl}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(\sum _{k=1}^{p}b_{jk}c_{kl})=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{p}a_{ij}b_{jk}c_{kl}$.

Meqenëse është i saktë relacioni

$\sum _{k=1}^{p}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{kl}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{p}a_{ij}b_{jk}c_{kl}$,

konkludojmë se shumëzimi i matricave është veprim asociativ. Fuqia e matricave katrore