Veprimet lineare me matrica

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Prodhimi i matricës me skalar

Përkufizimi

Prodhimi i matricës $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ me skalarin $\alpha$ quhet matrica $B=[b_{ik}{]}_{m,n}$ elementet e së cilës janë të barabata me prodhimin e elementeve korresponduese të matricës $A$ me skalarin $\alpha$, pra: lumi

Formulimi

$\alpha \cdot [a_{ik}{]}_{m,n}\stackrel{p\ddot{e}rk}{\iff }[b_{ik}{]}_{m,n}$ (...7)

ku $b_{ik}=\alpha \cdot a_{ik}(i=1,2,\mathrm{....}m;k=1,2,\mathrm{...},n)$.

Shembuj

Prodhimi i matricës $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 1& -3& -2\end{array}\right]$ me skalarin $\alpha =2$ është $2\cdot \left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& -3& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& 6& 10\\ 2& -6& -4\end{array}\right]$

Matrica e kundërt

Kur $\alpha =-1$, matrica $-A$ quhet matrica e kundërt e matricës $A$.

Shuma e dy matricave

Përkufizimi

Shuma e dy matricave $A=[a_{ik}{]}_{m,n},B=[b_{ik}{]}_{m,n}$quhet matrica $C=[c_{ik}{]}_{m,n}$ elementet e së cilës janë të barabarta me shumëne elementeve korresponduese të matricave $A,B$ pra:

Formulimi

$[a_{ik}{]}_{m,n}+[b_{ik}{]}_{m,n}\stackrel{p\ddot{e}rk}{=}[c_{ik}{]}_{m,n}$(...8)

ku $c_{ik}=a_{ik}+b_{ik}(i=1,2,\mathrm{...},m;k=1,2,\mathrm{...},n)$.

Vetitë

Nga ky përkufizim del se mund të mblidhen vetëm matricat e tipit të njëjtë. Ky përkufizim mund të zgjerohet në shumën e $s(\in N)$ i matricave:

$\sum _{j=1}^s[(a_j{)}_{ik}{]}_{m,n}\stackrel{p\ddot{e}rk}{=}[(\sum _{j=1}^s{a}_j{)}_{ik}{]}_{m,n}$. (...9)

Shembuj

Shuma e matricave

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& -3& -2\end{array}\right]$ dhe $b=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ 3& 0& 5\end{array}\right]$

është matrica:

$C=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 9\\ 4& -3& 3\end{array}\right]$

Ndryshimi i matricave

Përkufiimi

Ndryshimi i matricave $A=[a_{ik}{]}_{m,n},B=[b_{ik}{]}_{m,n}$quhet matrica $C=[c_{ik}{]}_{m,n}$ elementet e së cilës janë të barabarta me ndryshimin e elementeve korresponduese të matricave $A,B$, pra:

Formulimi

$[a_{ik}{]}_{m,n}-[b_{ik}{]}_{m,n}\stackrel{p\ddot{e}rk}{=}[c_{ik}{]}_{m,n}$(...10)

ku $c_{ik}=a_{ik}-b_{ik}(i=1,2,\mathrm{...},m;k=1,2,\mathrm{...},n)$.

Shembuj

Ndryshimi i matricave

$A=\left[\begin{array}{ccc}1-i& 7i& 2+i\\ 2& 1+i& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}3& 8i& -i\\ 1& i& 2\end{array}\right]$

është matrica:

$C=A-B=A=\left[\begin{array}{ccc}-2-i& -i& 2+2i\\ 1& 1& -2\end{array}\right]$.

Ligjet për mbledhjen dhe shumëzimin e matricës me skalar

Për mbledhjen e matricave dhe shumëzimin e matricës me skalar vlejnë këto ligje:

(a1) $A+B=B+A$;		(a2) $(A+B)+C=A+(B+C)$ ;
(a3) $A+0=0+A=A$;		(a4) $A+(-A)=0$;
(a5) $1\cdot A=A$;		(a6) $0\cdot A=0$;
(a7) $\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$;		(a8) $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$;
(a9) $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$.

Shembuj

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin (a₈):

Le të supozojmë se $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ kurse $\alpha ,\beta$ janë dy skalarë çfarëdo.

Në bazë të formulave (7) dhe (8) kemi:

$(\alpha +\beta )A$	$=(\alpha +\beta )[a_{ik}{]}_{m,n}=[(\alpha +\beta )a_{ik}{]}_{m,n}=$
	$=[\alpha a_{ik}+\beta a_{ik}{]}_{m,n}=[\alpha a_{ik}{]}_{m,n}+[\beta a_{ik}{]}_{m,n}=$
	$=\alpha [a_{ik}{]}_{m,n}+\beta [a_{ik}{]}_{m,n}=\alpha A+\beta A$,

pra përftuam:

$(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$,

çka donim të vërtetonim.

Kombinimi linear homogjen i matricave

Le të supozojmë se ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_j$, janë skalarë, kurse $A_1,A_2,\dots ,A_j$ janë matrica të tipit $m\times n$, atëherë në bazë të përkufizimit të shumës së matricave (2.2.) dhe të prodhimit të matricës me skalar(2.1.), kombinimi linear homogjen i matricave

${\alpha }_1{A}_1+{\alpha }_2{A}_2+\mathrm{...}+{\alpha }_j{A}_j$,

mund të paraqitet si një matricë $A$ e tipit $m\times n$.

Shembuj

Për shembull:

$2\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& -3\end{array}\right]+3\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ -4& 0& 2\end{array}\right]-5\cdot \left[\begin{array}{ccc}-2& 0& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}12& 1& 13\\ -13& -8& 0\end{array}\right].$

Llojet e posaçme ë matricave katrore

Titulli

</a href www.google.com /a>