Teorema e Kronecker-Capellit

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Matrica e ekuacionit linear dhe matrica e zgjeruar e tij

Le të marrim sistemin e $m$ ekuacioneve lineare me $n$ të panjohura:

$\sum _{k=1}^{n}a_{ik}x_{k}=b_{i}\ (i=1,2,\cdots ,m)$. (...44)

Në këtë rast matrica drejtkëndore $A=[a_{ik}]_{m,n}$ quhet matrica e sistemit të ekuacioneve lineare (44), ndërsa matrica drejtkëndore

$B={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &&&&\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\\\end{bmatrix}}$ (...45)

quhet matrica e zgjeruar e atij sistemi.

Thuhet se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm nëse ekziston bashkësia e vlerave $t_{k}\ (k=1,2,...,n)$ e atillë që

$\sum _{k=1}^{n}a_{ik}t_{k}=b_{i}\ (i=1,2,...,m)$(...44a)

paraqet një sistem i $m$ formulave të sakta. Bashkësia e vlerave të atilla quhet zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare (44).

Teorema e Kronecker - Capellit

T e o r e m a: e Kronecker - Capellit. - Sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm atëherë dhe vetëm atëherë nëse $r(A)=r(B)$.

V ë r t e t i m: Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm, implikon që $r(A)=r(B)$.

Vërtet, kur e shumëzojmë me radhë shtyllën e parë, të dytë,$\cdots$, shtyllën $n$ të matricës $B$ me numrat: $-t_{1},-t_{2},\ldots t_{n}$ dhe pastaj ato prodhime i shtojmë shtyllës së fundit, përftohet kjo matricë ekuivalente:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&&b_{1}-{\underset {k=1}{\overset {n}{\sum }}}a_{1k}t_{k}\\\vdots &&&&&\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&&b_{m}-{\underset {k=1}{\overset {n}{\sum }}}a_{mk}t_{k}\\\end{bmatrix}}$

Të gjitha elementet e shtyllës $n+1$ të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në bazë të formulave (44a)), prandaj konkludojmë se $r(A)=r(B)$.

Hipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse kushti $r(A)=r(B)$ implikon që sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm.

Vërtet, kur $r(A)=r(B)=r$, atëherë ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$ të matricës $A$. Le të supozojmë se submatrica e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës. Në këtë rast $r$ rreshta të parë të matricës $A$ dhe matricës $B$ janë linearisht të pavarur, ndërkaq rreshtat tjerë në këto matrica janë kombinime lineare nga ata $r$ rreshta të para. Nga kjo del se tani sistemi i ekuacioneve lineare (44) reduktohet në $r$ ekuacione lineare me $n$ të panjohura:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&\cdots &+&a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&&&&&\vdots &\\a_{r1}x_{1}&+&a_{r2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{rn}x_{n}&=&b_{r}\\\end{matrix}}$

ndërsa ekuacionet tjera të atij sistemi mund të flaken (mënjanohen).

       Varësisht prej vlerës së numrit r, dallojmë këto dy raste:

1°. Kur $r=n$ (d.m.th. kur $r(A)=n$), sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm dhe i caktuar, zgjidhjen e tij mund ta njehsojmë me formulat e Cramerit ose me algoritmin e Gaussit; dhe

2°. Kur $r<n$ (d.m.th. kur $r(A)<n$), sistemi i ekuacioneve lineare është i mundshëm, por i pacaktuar dhe ai sistem, respektivisht sistemi (44b), mund të shprehet në formën:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1r}x_{r}=b_{1}-a_{1,r+1}x_{r+1}-&\cdots &-a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2r}x_{r}=b_{2}-a_{2,r+1}x_{r+1}-&\cdots &-a_{2n}x_{n}\\&\vdots &\\a_{r1}x_{1}+a_{r2}x_{2}+\cdots +a_{rr}x_{r}=b_{r}-a_{r,r+1}x_{r+1}-&\cdots &-a_{rn}x_{n}\\\end{matrix}}$

Zgjidhja ($x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r}$) e këtij sistemi të ekuacioneve lineare varet nga të panjohurat $x_{r+1},x_{r+2},\ldots ,x_{n}$ të cilat konsiderohen si parametra. Pra, në këtë rast sistemi i ekuacioneve lineare (44) ka pafund shumë zgjidhjesh.

Kur në sistemin e ekuacioneve lineare (44) të gjitha kufizat e lira janë të barabarta me zero ($b_{i}=0,\ i=1,2,\ldots ,m$), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve lineare homogjene:

$\sum _{k=1}^{n}a_{ik}x_{k}=0\ (i=1,2,\ldots .m)$.(...46)

Ky sistem ekuacionesh lineare homogjene ka vetëm zgjidhjen triviale $x_{1}=0,\ x_{2}=0,\ldots ,\ x_{n}=0$, nëse $r(A)=n$.

Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene (46) ka, përveç zgjidhjes triviale, edhe pa fund shumë zgjidhjesh tjera, nëse $r(A)<n$.

Shembuj

Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

${\begin{matrix}3x_{1}&-&5x_{2}&+&2x_{3}&+&4x_{4}&=&2\\7x_{1}&-&4x_{2}&+&\ x_{3}&+&3x_{4}&=&5\\5x_{1}&+&7x_{2}&-&4x_{3}&-&3x_{4}&=&3\\\end{matrix}}$

Z g j i d h j e: Këtu $r(A)=2,r(B)=3$, prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i pamundshëm.

---

Të shgyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

${\begin{matrix}3x_{1}&-&2x_{2}&+&\ x_{3}&=&3\\2x_{1}&-&3x_{2}&+&\ x_{3}&=&0\\\ x_{1}&+&\ x_{2}&-&2x_{3}&=&5\\-x_{1}&+&2x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\\end{matrix}}$

Z g j i d h j e: Këtu $r(A)=r(B)=3$, prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i mundshëm dhe është ekuivalett me këtë sistem ekuacionesh:

${\begin{matrix}3x_{1}&-&2x_{2}&+&\ x_{3}&=&3\\2x_{1}&-&3x_{2}&+&\ x_{3}&=&0\\\ x_{1}&+&\ x_{2}&-&2x_{3}&=&5\\\end{matrix}}$

Ngase $r=n$, sistemi i ekuacioneve të dhënë është i caktuar dhe zgjidhja e tij është treshi i renditur ($2;\ 1;-1$).

---

Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit

${\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+x_{3}-2x_{4}=1\\x_{1}+x_{2}-x_{3}-2x4=-1\\x_{1}+x_{2}+5x_{3}-2x_{4}=5\\\end{matrix}}$

Z g j i d h j e: Në këtë rast $r(A)=r(B)=2<n$, prandaj sistemi i dhënë është i mundshëm, por i pacaktuar. Ky sistem ekuacionesh reduktohet në sistemin prej dy ekuacioneve lineare me katër të panjohura:

${\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+x_{3}-2x_{4}=1\\x_{1}+x_{2}-x_{3}-2x_{4}=-1\\\end{matrix}}$

të cilin e shprehim në këtë trajtë:

${\begin{matrix}x_{1}+x_{3}=2x_{4}-x_{2}+1\\x_{1}-x_{3}=2x_{4}-x_{2}-1\\\end{matrix}}$

Në sistemin e fundit e marrim: $x_{2}=a,\ x_{4}=b$, ndërsa e njehsojmë: $x_{1}=2b-a,\ x_{3}=1$, prandaj konstatojmë se zgjidhjet e sistemit të dhënë janë katërshet e renditura ($2b-a,\ a,\ 1,\ b$).