Llojet e posaçme të matricave katrore

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Matrica simetrike dhe rendi i tyre

Matrica katrore $[a_{ik}]_{1}^{n}$ quhet matricë simetrike nëse elementet e saja $a_{ik}$ dhe $a_{ki}$, që janë simetrike ndaj diagonales kryesore, janë të barabarta.

Shembuj

P.sh.:

${\begin{bmatrix}1&2&-3\\2&5&0\\-3&0&-1\end{bmatrix}}$

është matricë simetrike e rendit të tretë.

       Matricat katrore të trajtave:

${\begin{bmatrix}a_{11}&&0\\a_{21}&a_{22}&\\\vdots &&\\a_{n1}&a_{n2}&\dots a_{nn}\end{bmatrix}}$ ose shkurt $[a_{ik}]_{1}^{n}\ (a_{ik}=0,\forall i<k)$ (...11)

dhe

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots a_{1n}\\&a_{22}&\dots a_{2n}\\&&\vdots \\0&&\quad a_{nn}\end{bmatrix}}$ ose shkurt $[a_{ik}]_{1}^{n}\ (a_{ik}=0,\forall i>k)$ (...12)

quhen matrica trekëndore. E para quhet matricë trekëndore e poshtme, e dyta matricë trekëndore e epërme.

Matrica diagonale

Matrica katrore elementet e së cilës jashtë diagonales kryesore janë të barabarta me zero quhet matricë diagonale dhe shënohet:

Formulimi

${\begin{bmatrix}d_{1}&&&0\\&d_{2}&&\\&&\ \dots &\\0&&&d_{n}\end{bmatrix}}$ ose shkurt $[d_{i}\delta _{ik}]_{1}^{n}$, (...13)

ku $\delta _{ik}$ quhet simbol i Kroneckerit

Përcaktimi

$\delta _{ik}={\begin{cases}1,&\forall i=k\\0,&\forall i\neq k\end{cases}}$ (...14)

Matrica diagonale skalare

       Matrica diagonale (13) quhet matricë skalare, nëse të gjitha elementet e saja janë të barabarta. Matrica skalare shënohet:

Formulimi

${\begin{bmatrix}d&&&0\\&d&&\\&&\ \dots &\\0&&&d\end{bmatrix}}$ ose shkurt $S=[d\delta _{ik}]_{1}^{n}$ (...15)

Matrica e njësishme E

Kur $d=1$ matrica skalare (15) quhet matricë e njësishme dhe shënohet me $E$, pra:

$E=[\delta _{ik}]_{1}^{n}={\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\ \ddots &\\0&&&1\end{bmatrix}}$ (...16)

Nga formula (15) dhe (16) rezulton:

$S=dE$. (...17)

Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore