Kuptimi dhe barazia e matricave

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Simboli

Matricat rëndom i emërtojmë me shkronja të mëdha të alfabetit:

$A,B,C,\mathrm{...},M,N,\mathrm{...}$

Matrica drejtkëndore

Përkufizimi

Matrice drejtkëndore quhet bashkësia prej $mn$ numrave $a_{ik}(i=1,2,\mathrm{...},m;k=1,2,\mathrm{....}n)$ të radhitur në një tabelë të formës drejtkëndore e cila përmban $m$ rreshta dhe $n$ shtylla

Formulimi i përkufizimit

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{m1}& a_{m2}& \mathrm{...}& a_{mn}\end{array}\right]$ ose shkurt $[a_{ik}{]}_{m,n}$ (...1)

Numrat $a_{ik},(kui=1,2,\mathrm{....}m;k=1,2,\mathrm{....}n)$ quhen elementet e matricës (1), ku indeksi i parë i elementit shënon numrin e rreshtit në të cilin ndodhet elementi, kurse indeksi i dytë numrin e shtyllës. Kështu, p.sh. elementi $a_{23}$ ndodhet në rreshtin e dytë dhe në shtyllën e tretë, përkatësisht në prerjen e rreshtit të dytë me shtyllën e tretë.

Matrica komplekse

Matrica $A$ quhet matricë komplekse nëse së paku një element i saj është numër kompleks, ndërsa quhet matricë reaIe, nëse të gjitha elementet e saja janë numra realë.

Matricat e tipit të njëjtë

Dy matrica $A,B$ që kanë numër të barabartë rreshtash ($m$) dhe numër të barabartë shtyllash ($n$) quhen matrica të tipit të njëjtë ose formatës së njëjtë $m\times n$.

Matrica katrore

Matrica e tipit $n\times n$ quhet matricë katrore

Simboli

Matrica katrore shënohet

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{n1}& a_{n2}& \mathrm{...}& a_{nn}\end{array}\right]$ ose shkurt $A=[a_{ik}{]}_i^n$ (...2)

Rendi i matricës katrore

Matrica katrore $A$ që ka $n$ rreshta dhe $n$ shtylla quhet matricë e rendit $n$. Matrica katrore e rendit $1$ është identike me vetë elementin. Në matricën katrore (2) elemente $a_{11}.a_{22}\mathrm{...}{a}_{nn}$ formojne diagonalen kryesore ndërkaq, elementet $a_{1n},a_{2n-1},\mathrm{...},a_{n1}$ diagonalen anësore të kësaj matrice.

Matrica njështyllore

Matrica e tipit $n\times 1$:

$\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right]$ ose shkurt $[a_{i1}{]}_{n,1}$ (...3)

quhet matricë njështyllore.

Matrica njërreshtore

Matrica e tipit $1\times n$:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\mathrm{...}{a}_{1n}\end{array}$ ose shkrut $[a_{1i}{]}_{1,n}$ (...4)

quhet matricë njërreshtore.

Zero matrica

Matrica e tipit $m\times n$ që ka të gjitha elementet të barabarta me zero quhet zero-matricë dhe shënohet me $[0]m,n$ ose me $0$, pra:

$[a_{ik}{]}_{m,n}=0\stackrel{p\ddot{e}rk}{\iff }{a}_{ik}=0\mathrm{\forall }i=1,2,\mathrm{...},m;\mathrm{\forall }k=1,2,\mathrm{...},n$ (...6)

Barazia e matricave

Përkufizimi

Dy matrica $A=[a_{ik}{]}_{m,n,}B=[b_{ik}{]}_{m,j}$ janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur elementet korresponduese të tyre janë të barabarta, pra:

$[a_{ik}{]}_{m,n}=[b_{ik}{]}_{m,n}\iff a_{ik}=b_{ik}$ (...5)

$(i=1,2,\mathrm{...},m;k=1,2,\mathrm{..},n)$.

Vetitë

Nga ky përkufizim del se vetëm matricat e tipit të njëjtë mund të jenë të barabarta, ku me atë rast duhet të plotësohen gjithsej $mn$ kushte.

Burime

Veprimet lineare me matrica