Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
|
Lidhur me zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare (32) do të dallojmë këto tri raste
- 1°. Kur
, sistemi i ekuacioneve lineare (32) është i mundshëm dhe i caktuar, sepse
ekzistojnë.
- 2°. Kur
dhe
sistemi i ekuacioneve lineare (32) është ekuivalent me këtë sistem të ekuacioneve:
(...32a)
Vërtet, kur supozojmë se treshi i renditur
është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32), ai është zgjidhja edhe i sistemit të ekuacioneve (32a), sepse ekuacioni i tretë i këtij sistemi, në atë rast, reduktohet në këtë formulë të saktë:
Ndërkaq, kur supozojmë se treshi i renditur
është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32a) dhe
, ekuacioni i tretë i këtij sistemi merr këtë trajtë:
çka do të thotë se
është zgjidhja edhe e sistemit (32). D.m.th. në kushtet e përmendura sistemet (32) dhe (32a) janë ekuivalente. Nga ekuivalenca e tyre rrjedh se shqyrtimi i zgjidhshmërisë së sistemit (32) mund të bëhet nëpërmjet të sistemit (32a). Për këtë qëllim e zhvillojmë përcaktorin në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret:
sepse koeficientet e
dhe
janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë:
- (a) Nëse
, sistemi (32) është i pamundshëm;
- (b) Nëse
, sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura:
Në këtë sistem, kur
e trajtojmë si parametër, kemi:
- 3°. Kur
dhe
, ekuivalent me:
(...32b)
Ekuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm.
Dy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë
prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del:
D.m.th.:
- (a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve
nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;
- (b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:
Për vlerat e ndryshme të parametrit
të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit:
Zgjidhje Meqë në këtë rast
ku ylerat karakteristike të parametrit
për përcaktorin kryesor janë
dhe
, kurse për përcaktorët karakteristikë
dhe
, pra:
- (a) Për
, sistemi i dhënë është i mundshëm ku
- (b) Për
(p.sh.
) dhe
, prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm;
- (c) Për
(p.sh.
) dhe
prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:
. Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë
ku
janë dy parametra çfarëdo.