Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare

Nga Wikibooks
Shko tek: lundrim, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare



Lidhur me zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare (32) do të dallojmë këto tri raste

1°. Kur , sistemi i ekuacioneve lineare (32) është i mundshëm dhe i caktuar, sepse ekzistojnë.
2°. Kur dhe sistemi i ekuacioneve lineare (32) është ekuivalent me këtë sistem të ekuacioneve:
(...32a)

Vërtet, kur supozojmë se treshi i renditur është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32), ai është zgjidhja edhe i sistemit të ekuacioneve (32a), sepse ekuacioni i tretë i këtij sistemi, në atë rast, reduktohet në këtë formulë të saktë:

Ndërkaq, kur supozojmë se treshi i renditur është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32a) dhe , ekuacioni i tretë i këtij sistemi merr këtë trajtë:

çka do të thotë se është zgjidhja edhe e sistemit (32). D.m.th. në kushtet e përmendura sistemet (32) dhe (32a) janë ekuivalente. Nga ekuivalenca e tyre rrjedh se shqyrtimi i zgjidhshmërisë së sistemit (32) mund të bëhet nëpërmjet të sistemit (32a). Për këtë qëllim e zhvillojmë përcaktorin në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret:

sepse koeficientet e dhe janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë:

(a) Nëse , sistemi (32) është i pamundshëm;
(b) Nëse , sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura:

Në këtë sistem, kur e trajtojmë si parametër, kemi:

3°. Kur dhe , ekuivalent me:
(...32b)

Ekuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm.

Dy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë

prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del:

D.m.th.:

(a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve

nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;

(b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:

Shembuj[redakto]

Për vlerat e ndryshme të parametrit të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit:

Zgjidhje Meqë në këtë rast

ku ylerat karakteristike të parametrit për përcaktorin kryesor janë dhe , kurse për përcaktorët karakteristikë dhe , pra:

(a) Për , sistemi i dhënë është i mundshëm ku
(b) Për (p.sh. ) dhe , prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm;
(c) Për (p.sh. ) dhe

prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura: . Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë ku janë dy parametra çfarëdo.