Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë rëndom shfrytëzohen këto skema:

(a)
(b)

(b1)
(c)

Skemat (b), (b₁) shprehin rregullën e Legendrit ose rregullën e trekëndëshit, kurse skema (c) rregullën e Sarrusit. Përdorimi i tyre shihet qartas.

Mirëpo, për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të tretë mund të shfrytëzohet edhe vetë formula përkufizuese (25). Kur polinomin e këtij përcaktori e paraqesim në këtë trajtë:

$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

respektivisht

$a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}$

atëherë kemi:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}$(...25a)

ku përcaktorët e rendit të dytë:

${\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\ ,{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}\ ,{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}$

quhen subdeterminante ose minore të elementeve $a_{11},a_{12},a_{13}$ të $\det A$. Kur përcaktorin e rendit të tretë (25a) emërtojmë me $D$, atëherë minoret e elementeve $a_{11},a_{12},a_{13}$ emërtohen me $D_{11},D_{12},D_{13}$ dhe përcaktori shprehet:

$D=a_{11}D_{11}-a_{12}D_{12}+a_{13}D_{13}$. (...25b)

Kur përcaktorin e rendit të tretë e shprehim në formën (25a) ose (25b) themi se atë e kemi zhvilluar në minore (subdeterminante) sipas elementeve të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori $D$ mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.

Në përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit $a_{ik}$ shënohet me $D_{ik}$. Prodhimi i minorit $D_{ik}$ me numrin $(-1)^{1+k}$ quhet kofaktor (komplementi algjebrik) i elementit $a_{ik}$ dhe shënohet $A_{ik}$, pra:

$A_{ik}=(-1)^{i+k}D_{ik}$. (...27)

Duke pasur parasysh këtë, formula (25b) merr këtë trajtë:

$D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$

Nuk është vështirë të provohet se, në përgjithësi, përcaktori i rendit të tretë $D$ mund të shprehet me formulat:

$D={\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}&(i=1,2,3)\\a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+a_{3k}A_{3k}&(k=1,2,3)\end{cases}}$(...28)

që quhen formulat e Laplacit.

Kur formulat e Laplacit i përgjithësojmë për përcaktorin e rendit $n$ përftojmë:

$D={\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}&(i=1,2,\cdots ,n)\\a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+\cdots +a_{nk}A_{nk}&(k=1,2,\cdots ,n)\end{cases}}$(...28a)

Nga këto formula shihet se njehsimi i përcaktorit të rendit $n$ reduktohet në njehsimin e $n$ përcaktorëve të rendit $n-1$.

Shembuj

Të njehsohet vlera e përcaktorit

$D={\begin{vmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{vmatrix}}$

Z g j i d h j e: E zhvillojmë përcaktorin në minore sipas elementeve të rreshtit të dytë dhe njëherit aplikojmë vetitë e përcaktorëve siç vijon;

	$D\,$	$=-ac{\begin{vmatrix}2ab&b^{2}\\2cd&d^{2}\end{vmatrix}}+(ad+bc){\begin{vmatrix}a^{2}&b^{2}\\c^{2}&d^{2}\end{vmatrix}}-bd{\begin{vmatrix}a^{2}&2ab\\c^{2}&2cd\end{vmatrix}}$
		$=-2abcd{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+(ad+bc){\begin{vmatrix}a^{2}&b^{2}\\c^{2}&d^{2}\end{vmatrix}}-2abcd{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ $=-4abcd{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+(ad+bc)(a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2})$ $=-4abcd(ad-bc)+(ad-bc)^{2}(ad-bc)\,$ $=(ad-bc)[(ad-bc)^{3}-4abcd]=(ad-bc)^{3}\,$.

---

Të vërtetohet identiteti

${\begin{vmatrix}a-b-c&2a&2a\\2b&b-c-a&2b\\2c&2c&c-a-b\end{vmatrix}}=(a+b+c)^{3}$.

V ë r t e t i m: Duke shfrytëzuar vetitë e përcaktorëve kryhen këto transformime identike

${\begin{vmatrix}a\!-\!b\!-\!c&2a&2a\\2b&b\!-\!c\!-\!a&2b\\2c&2c&c\!-\!a-\!b\end{vmatrix}}$	$\!=\!i\!+\!(ii\!+\!iii)$	${\begin{vmatrix}a\!+\!b\!+\!c&a\!+\!b\!+\!c&a\!+\!b\!+\!c\\2b&b\!-\!c\!-\!a&2b\\2c&2c&\!c\!-\!a\!-\!b\end{vmatrix}}$
	$\!=(a\!+\!b\!+\!c)$	${\begin{vmatrix}1&l&1\\2b&b\!-\!c\!-\!a&2b\\2c&2c&c\!-\!a\!-\!b\end{vmatrix}}$
	$=(a\!+\!b\!+\!c)$	${\begin{vmatrix}1&{\overset {(ii-i)}{0}}&{\overset {(iii-i)}{0}}\\2b&-(a\!+\!b\!+\!c)&0\\2c&0&-(a\!+\!b\!+\!c)\end{vmatrix}}$
	$=(a\!+\!b\!+\!c)$	${\begin{vmatrix}-(\!a\!+\!b\!+\!c\!)&0\\0&-(a+b+c)\end{vmatrix}}$
	$=(a\!+\!b\!+\!c)^{3}\,$.