Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve

Nga Wikibooks
Jump to navigation Jump to search
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare


Për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë rëndom shfrytëzohen këto skema:

(a)
101a skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG
(b)
101b skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG
(b1)
102b1 skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG
(c)
102c skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG

Skemat (b), (b1) shprehin rregullën e Legendrit ose rregullën e trekëndëshit, kurse skema (c) rregullën e Sarrusit. Përdorimi i tyre shihet qartas.

Mirëpo, për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të tretë mund të shfrytëzohet edhe vetë formula përkufizuese (25). Kur polinomin e këtij përcaktori e paraqesim në këtë trajtë:

respektivisht

atëherë kemi:

(...25a)
ku përcaktorët e rendit të dytë:

quhen subdeterminante ose minore të elementeve . Kur përcaktorin e rendit të tretë (25a) emërtojmë me , atëherë minoret e elementeve emërtohen me dhe përcaktori shprehet:

. (...25b)

Kur përcaktorin e rendit të tretë e shprehim në formën (25a) ose (25b) themi se atë e kemi zhvilluar në minore (subdeterminante) sipas elementeve të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.

Në përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit shënohet me . Prodhimi i minorit me numrin quhet kofaktor (komplementi algjebrik) i elementit dhe shënohet , pra:

. (...27)

Duke pasur parasysh këtë, formula (25b) merr këtë trajtë:

Nuk është vështirë të provohet se, në përgjithësi, përcaktori i rendit të tretë mund të shprehet me formulat:

(...28)

që quhen formulat e Laplacit[1].

Kur formulat e Laplacit i përgjithësojmë për përcaktorin e rendit përftojmë:

[2](...28a)

Nga këto formula shihet se njehsimi i përcaktorit të rendit reduktohet në njehsimin e përcaktorëve të rendit .

Shembuj[redakto]

Të njehsohet vlera e përcaktorit

Z g j i d h j e: E zhvillojmë përcaktorin në minore sipas elementeve të rreshtit të dytë dhe njëherit aplikojmë vetitë e përcaktorëve siç vijon;




.

Të vërtetohet identiteti

.

V ë r t e t i m: Duke shfrytëzuar vetitë e përcaktorëve kryhen këto transformime identike





.
  1. 4) Sipas emrit të matematikanit të shquar francez Pilere Simon de Laplace (1749-1827).
  2. 5) Vërtetimin e këtyre formulave mund ta gjeni në [21), fq. 85-87.