Pavarshmëria e formave lineare

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

T e o r e m a: Nëse rangu i matricës së bashkësisë së formave lineare $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m}$ është $r$, ekzistojnë $r$ forma lineare linearisht të pavarura, ndërsa të gjitha forma tjera janë kombinime lineare homogjene prej atyre $r$ formave lineare të pavarura.

V ë r t e t i m: Meqenëse $r(A)=r$, ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$. E zëmë se një submatricë e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës:

$\left[{\begin{array}{llllll}a_{11}&a_{12}&a_{1r}&a_{1,r+1}&\dots &a_{1r}\\a_{21}&a_{22}&a_{2r}&a_{2,r+1}&\dots &a_{2r}\\\vdots &&&\vdots \\a_{r1}&a_{r2}&a_{rr}&a_{r,r+1}&\dots &a_{rr}\\a_{r+1,r}&a_{r+1,r}&a_{1r}&a_{1,r+1}&\dots &a_{r+1,n}\\\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{mr}&a_{m,r+1}&\dots &a_{mn}\\\end{array}}\right]$

Le të supozojmë, të kundërtën e pohimit të teoremës, se format $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{r}$ janë linearisht të varura:

$c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}+\cdots +c_{r}f_{r}\equiv 0$

ku të gjitha konstantet $c_{1},c_{2},\cdots ,c$, nuk janë të barabarta me zero. Kur në këtë identitet zëvendësohen shprehjet për $f_{1},.f_{2}f_{r}$ dhe grupohen kufizat sipas panjohurave $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$, përftohet:

$(c_{1}a_{11}\!+\!c_{2}a_{21}\!+\!\cdots \!+\!c_{r}a_{r1})x_{1}\!+\!(c_{1}a_{12}\!+\!c_{2}a_{22}\!+\!\cdots \!+\!c_{r}a_{r2})x_{2}\!+\!\cdots \!+\!$

$\!+\!(c_{1}a_{1r}\!+\!c_{2}a_{2r}\!+\!\dots c_{r}a_{rr})x_{r}\cdots \!+\!(c_{1}a_{1n}+c_{2}a_{2n}\!+\!\cdots \!+\!c_{r}a_{rn})x_{n}\equiv 0$.

Nga ky identitet del ky sistem i ekuacioneve homogjene:

${\begin{array}{rcl}c_{1}a_{11}+c_{2}a_{21}+\cdots +c_{r}a_{r1}&=&0\\c_{1}a_{12}+c_{2}a_{22}+\cdots +c_{r}a_{r2}&=&0\\&\vdots &\\c_{1}a_{1r}+c_{2}a_{2r}+\cdots +c_{r}a_{rr}&=&0\\&\vdots &\\c_{1}a_{1n}+c_{2}a_{2n}+\cdots +c_{n}a_{rn}&=&0\\\end{array}}$

Në p. 5.6. kemi konstatuar se sistemi i tillë (kur $D\neq 0$) ka vetëm zgjidhje triviale: $c_{1}=0,c_{2}=0\cdots ,c_{r}=0$, sepse përcaktorët karakteristikë të tij janë të barabartë me zero $(D_{k}=0,\forall k=1,2,\cdots ,r$). Meqenëse ky rezultat është në kundërshtim me supozimin se të gjitha konstantet $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{r}$ nuk janë të barabarta me zero, andaj konkludojmë se në bashkësinë e formave lineare $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m}$, ekzistojnë $r$ nga to $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{r}$ të cilat janë linearisht të pavarura.

Tani duhet të vërtetojmë se format tjera lineare $f_{r+1},f_{r+2},\cdots ,f_{m}$ janë kombinime lineare homogjene prej $r$ formave të pavarura. Le të bëjmë këtë për formën lineare $f_{j}\ (j>r)$. Për të provuar këtë duhet të vërtetojmë se përcaktori i rendit $r+1$:

$\Delta ={\begin{array}{|rrrrr|}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1r}&f_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2r}&f_{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rr}&f_{r}\\a_{j1}&a_{j2}&\cdots &a_{jr}&f_{j}\\\end{array}}$

është i barabartë me zero. Kur në shtyllën e fundit të këtij përcaktori zëvendësohen $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{r},f_{j}$ me shprehjet përkatëse, ai mund të paraqitet si shuma e këtyre $n$ përcaktorëve:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1r}&a_{1s}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2r}&a_{2s}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rr}&a_{rs}\\a_{j1}&a_{j2}&\cdots &a_{jr}&a_{js}\\\end{vmatrix}}x_{s}=x_{s}D_{s}\ (s=1,2,\ldots ,n)$

1°. Kur $1\leqslant s\leqslant r$, atëherë $D_{s}=0$, sepse dy shtyllat e tyre janë identike; :identike,

2°. Kur $r+1\leqslant s\leqslant n$, atëherë $D_{s}=0$, sepse rangu i matricës $A$ është $r$. :është $r$.

Pra, konkludojmë: $\Delta =0$.

E zhvillojmë tani përcaktorin $\Delta$ në kofaktorë sipas elementeve të shtyllës së fundit:

$A_{1}f_{1}+A_{2}f_{2}+\cdots +A_{r}f_{r}+A_{j}f_{j}=0$

nga përftohet:

$f_{j}=a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+\cdots +a_{r}f_{r}$,

ku $a_{i}$ janë këto konstante $a_{i}=-{\frac {A_{i}}{A_{j}}}(i=1,2,\cdots ,r)$, kurse $A_{j}=D\neq 0$. Pra, $f_{j}$ është forma lineare e varur.