Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Forma e përgjithshme e sistemit të $n$ ekuacioneve (barazimeve) lineare me $n$ të panjohura është:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{matrix}}$

ku njëlloj, sikurse për sistemin (32), përkufizohet përcaktori kryesor $D$, përcaktorët karakteristikë $D_{k}(k=1,2,\cdots ,n)$ dhe zgjidhja $(t_{1},t_{2},\cdots ,tn)$ e këtij sistemi. Gjithashtu, në mënyrë analoge, nxirren formulat e Cramerit respektivisht i shumëzojmë me radhë ekuacionet e këtij sistemi me kofaktorët $A_{ik}$ të elementeve $a_{ik}$, ku $i=1,2,\cdots ,n$he pastaj ato ekuacione i mbledhim njëherit duke grupuar kufizat sipas të panjohurave $x_{i}$;

$(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik})x_{1}+(\sum _{i=1}^{n}a_{i2}A_{ik})x_{2}+\cdots +(\sum _{i=1}^{n}a_{ik}A_{ik})x_{k}+\cdots$ $+(\sum _{i=1}^{n}a_{in}A_{ik})x_{n}=(\sum _{i=1}^{n}b_{i}A_{ik}).$

Tani duke pasur parasysh formulat:

(a) $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik}=0,\forall j\neq k$;

(b) $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik}=D,\forall j=k$;

(c) $\sum _{i=1}^{n}b_{i}A_{ik}=D_{k},k=1,2,\cdots ,n$

barazimi i fundit merr këtë formë:

$(\sum _{i=1}^{n},a_{ik}A_{ik})x_{k}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}A_{ik}$

respektivisht

$Dx_{3}k=D_{k},\ k=1,2,\cdots ,n$

Kur supozojmë se $D\neq 0$, përftohen formulat e Cramerit:

$x_{3}k={\frac {D_{k}}{D}},\ k=1,2,\cdots ,n$ (...35)

Nëse në sistemin (34) kufizat e lira janë të barabarta me zero ($b_{i}=0,\forall i=1,2,\cdots ,n$), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve homogiene. Kur $D\neq 0$, ky sistem ka vetëm zgjidhjen triviale:

$x_{31}=0,\;x_{2}=0,\cdots ,x_{n}=0.$

Shembuj

Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

${\begin{matrix}\ x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=\ 5\\2x_{1}+\ x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=\ 1\\3x_{1}+2x_{2}+\ x_{3}+2x_{4}=\ 1\\4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}\ =-5\\\end{matrix}}$

Zgjidhje Përcaktorët e këtij sistemi janë:

$D=-20,D_{1}=40,D_{2}=-40,D_{3}=60,D_{4}=-60$.

Me aplikimin e formulave të Cramerit përftohet : $x_{1}=-2,x_{2}=2,x_{3}=-3$ dhe $x_{4}=3$, prandaj katërshi i renditur ($-2,2;-3;3$) është zgjidhja e sistemit të dhënë.

Algoritmi i Gaussit